✏️ Системи лінійних рівнянь

Ми вже розібрали лінійні рівняння з однією змінною. А що робити, коли невідомих дві? 🤔
Тоді на допомогу приходять системи рівнянь — потужний інструмент для знаходження двох (і більше) змінних одночасно!

🔍 Рівняння з двома змінними — це рівність, у якій є дві невідомі.
✈️ Приклад: 2𝑥 + 𝑦 = 7 — рівняння з двома змінними.

✈️ Розв’язок рівняння з двома змінними — впорядкована пара (𝑥; 𝑦), що перетворює рівняння на правильну рівність.
✈️ Приклад: для рівняння 2𝑥 + 𝑦 = 7 пара (2; 3) є розв’язком, бо 2 ⋅ 2 + 3 = 7.

✈️ Зауважте! Одне рівняння з двома змінними зазвичай має безліч розв’язків. Щоб знайти єдину пару (𝑥; 𝑦), потрібно поєднати два рівняння — саме тоді утворюється система рівнянь.

🔍 Система лінійних рівнянь з двома змінними має вигляд:

{ 𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 = 𝑐₁,
{ 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂𝑦 = 𝑐₂.

✈️ Розв’язати систему — означає знайти всі пари (𝑥; 𝑦), які одночасно задовольняють обидва рівняння.
✈️ Приклад:
{ 𝑥 + 𝑦 = 6,
{ 𝑥 – 𝑦 = 2.
→ розв’язок: (𝑥; 𝑦) = (4; 2), бо:
{ 4 + 2 = 6,
{ 4 – 2 = 2.

🔍 Основні методи розв’язування систем

1️⃣ Метод підстановки. Використовується, коли легко виразити одну змінну через іншу.

✈️ Алгоритм:
1️⃣ Виразіть одну змінну через іншу з будь-якого рівняння.
2️⃣ Підставте цей вираз у друге рівняння.
3️⃣ Розв’яжіть рівняння з однією змінною.
4️⃣ Знайдене значення підставте в попередній вираз.
5️⃣ Отримайте другу змінну.

✈️ Приклад:
{ 𝑥 + 𝑦 = 5,
{ 2𝑥 – 𝑦 = 4.
→ з першого рівняння: 𝑦 = 5 – 𝑥,
→ підставляємо у друге: 2𝑥 – (5 – 𝑥) = 4 → 3𝑥 = 9 → 𝑥 = 3,
→ тоді 𝑦 = 5 – 𝑥 = 5 – 3 = 2.
Відповідь: (3; 2). 🔺

2️⃣ Метод додавання (або віднімання). Зручний, коли можна зробити коефіцієнти при одній зі змінних протилежними.

✈️ Алгоритм:
1️⃣ Помножте одне або обидва рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при одній змінній стали протилежними.
2️⃣ Додайте (або відніміть) рівняння почленно.
3️⃣ Розв’яжіть отримане рівняння з однією змінною.
4️⃣ Знайдене значення підставте в будь-яке початкове рівняння.
5️⃣ Запишіть відповідь.

✈️ Приклад:
{ 5𝑥 + 2𝑦 = 1,
{ 𝑥 – 2𝑦 = –7.
→ додамо почленно обидва рівняння:
(5𝑥 + 𝑥) + (2𝑦 – 2𝑦) = 1 – 7 → 6𝑥 = –6 → 𝑥 = –1,
→ тоді 5𝑥 + 2𝑦 = 1 → 5 ⋅ (–1) + 2𝑦 = 1 → –5 + 2𝑦 = 1 → 2𝑦 = 6 → 𝑦 = 3.
Відповідь: (–1; 3). 🔺

💡 Порада: завжди перевіряйте отриману пару (𝑥; 𝑦), підставивши її в обидва рівняння, — навіть маленька помилка в знаку може змінити все.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog