🌟 Перехід між коренями і степенями

Завершуємо тему ірраціональних виразів! 💪
На цьому етапі важливо навчитися вільно переходити від коренів до степенів і навпаки, адже це дозволяє спрощувати навіть найскладніші вирази. Коли бачимо у виразі і корені, і степені, то найперше завдання:
👉 звести все до одного виду — або до степенів, або до коренів.

🔍 Степінь із раціональним показником. Якщо 𝑎 > 0, 𝑚 — ціле число, а 𝑛 — натуральне число (𝑛 > 1), то степенем числа 𝑎 з показником 𝑚/𝑛 називають вираз ⁿ√𝑎ᵐ:

𝑎ᵐ/ⁿ = ⁿ√(𝑎ᵐ)

Це означає, що дріб у показнику степеня можна трактувати як корінь:
 • чисельник (𝑚) — це показник степеня,
 • знаменник (𝑛) — це показник кореня.

👀 Приклади виконання завдань

✈️ Приклад 1. Перетворити степінь у корінь:
🔍 𝑥¹/² = √𝑥;
🔍 𝑏³/⁵ = ⁵√(𝑏³);
🔍 𝑝⁻²/³ = 1 / ³√(𝑝²).

✈️ Приклад 2. Перетворити корінь у степінь:
🔍 √(𝑐⁵) = 𝑐⁵/²;
🔍 ∜𝑦 = 𝑦¹/⁴;
🔍 ⁵√(1 / 𝑎³) = 𝑎⁻³/⁵.

✈️ Приклад 3. Обчисліть значення виразу:
🔍 36¹/² = √36 = 6;
🔍 8⁻¹/³ = 1 / ³√8 = 1 / 2 = 0,5;
🔍 16¹·⁵ = 16³/² = (√16)³ = 4³ = 64.

✈️ Приклад 4. Спростити вираз:
🔍 𝑥¹/²(𝑥¹/² – 4) + 4𝑥¹/² = 𝑥 – 4√𝑥 + 4√𝑥 = 𝑥;
🔍 (𝑎¹/⁴ + 𝑎¹/²)² – 2𝑎³/⁴ = 𝑎¹/² + 2𝑎³/⁴ + 𝑎 – 2𝑎³/⁴ = 𝑎¹/² + 𝑎;
🔍 (𝑎 + 2𝑎¹/²) / (𝑎 – 4) = (𝑎 + 2√𝑎) / ((√𝑎)² – 2²) = (√𝑎(√𝑎 + 2)) / (√𝑎 – 2)(√𝑎 + 2) = √𝑎/(√𝑎 – 2).

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog