⚡️ Скорочення, додавання, віднімання, множення і ділення дробово ірраціональних виразів

Після розглядання множення коренів, а також звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу, розглянемо, як працювати з дробовими виразами, що містять знак кореня.

✈️ Скорочення дробово ірраціональних виразів. Щоб скоротити ірраціональні вирази, потрібно:
1️⃣ розкласти чисельник і знаменник на множники, використовуючи методи винесення, формул скороченого множення або групування;
2️⃣ скорочують спільні множники у чисельнику та знаменнику.

✈️ Приклади:
🔍(𝑥 – 16)/(√𝑥 – 4) = (√𝑥 – 4)(√𝑥 + 4)/(√𝑥 – 4) = √𝑥 + 4;
🔍(𝑎² + 2𝑎√3 + 3)/(𝑎 + √3) = (𝑎 + √3)²/(𝑎 + √3) = 𝑎 + √3.

✈️ Додавання і віднімання дробово ірраціональних виразів. Щоб додати або відняти дробово ірраціональні вирази, необхідно:
1️⃣ спочатку привести їх до спільного знаменника;
2️⃣ додати або відняти чисельник під спільний знаменник;
3️⃣ скоротити чисельник і знаменник (за необхідності).

✈️ Приклад: 2/(𝑚 + 2√𝑚) + 2/(𝑚 – 2√𝑚) = 2/[√𝑚(√𝑚 + 2)] + 2/[√𝑚(√𝑚 – 2)] = [2(√𝑚 – 2) + 2(√𝑚 + 2)]/[√𝑚(√𝑚 + 2)(√𝑚 – 2)] = [2√𝑚 – 4 + 2√𝑚 + 4]/[√𝑚((√𝑚)² – 2²)] = (4√𝑚)/[√𝑚(𝑚 – 4)] = 4/(𝑚 – 4).

✈️ Множення дробово ірраціональних виразів. При множенні дробово ірраціональних виразів необхідно:
1️⃣ помножити чисельники і знаменники під один дробом;
2️⃣ спростити вираз розкладанням чисельника і знаменника на множники.

✈️ Приклад: 4𝑥/(𝑦²√5) ⋅ 5𝑦/(8√𝑥) = (4𝑥 ⋅ 5𝑦)/(𝑦²√5 ⋅ 8√𝑥) = (√𝑥 ⋅ √5)/(𝑦 ⋅ 2) = √(5𝑥)/(2𝑦).

✈️ Ділення дробово ірраціональних виразів. Для ділення потрібно:
1️⃣ помножити перший дріб на обернений до другого;
2️⃣ помножити чисельники і знаменники під один дробом;
3️⃣ спростити вираз розкладанням чисельника і знаменника на множники.

✈️ Приклад: (𝑝 – 1)/(5√𝑝) : (√𝑝 + 1)/p = (𝑝 – 1)/(5√𝑝) ⋅ 𝑝/(√𝑝 + 1) = (√𝑝 + 1)(√𝑝 – 1)/(5√𝑝) ⋅ (√𝑝)²/(√𝑝 + 1) = [(√𝑝 + 1)(√𝑝 – 1)(√𝑝)²] / [(5√𝑝)(√𝑝 + 1)] = (√𝑝 – 1)√𝑝/5 = (𝑝 – √𝑝)/5

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

✏️ Порівняння коренів

Після опрацювання теми спрощення та множення коренів переходимо до ще однієї важливої навички — порівняння ірраціональних виразів. Це ще одна тема, яку можуть запитати на НМТ або у вигляді тестового питання або у вигляді завдання на встановлення відповідностей.

🔍 Основне правило порівняння коренів

Якщо корені мають однаковий показник, то більшим є той, у кого підкоренева частина більша.

✈️ Приклади:
🔍√11 > √9, бо 11 > 9.
🔍³√–8 < ³√–5, бо –8 < –5.

✈️ Порівняння числа з коренем. Щоб порівняти число з коренем, треба перетворити число в корінь того самого степеня.
✈️ Приклади:
🔍3 ? √10 → 3 = √9 → √9 < √10, отже, 3 < √10.
🔍⁵√33 ? 2 → 2 = ⁵√32 → ⁵√33 > ⁵√32, отже, ⁵√33 > 2.

✈️ Коли під коренем є множник. Іноді зручно внести число під знак кореня, щоб порівняння було простішим.
✈️ Приклад: 2√3 ? 3√2. Вносимо під корінь: 2√3 = √12, 3√2 = √18 → √12 < √18 → 2√3 < 3√2. 🔺

✈️ Якщо показники коренів різні. Щоб порівняти корені різних степенів, зводимо їх до спільного показника за допомогою властивості
ⁿ√𝑎ᵐ = ⁿᵏ√𝑎ᵐᵏ.
✈️ Приклад: ³√5 ? ⁶√24.
Перетворимо до коренів шостих степенів:
³√5 = ⁶√5² = ⁶√25, отже, ⁶√25 > ⁶√24 → ³√5 > ⁶√24. 🔺

💡 Порада. При порівнянні ірраціональних виразів завжди намагайтеся зробити однакову «структуру» виразів: однаковий показник, схожий підкореневий вигляд. Це дозволить швидко оцінити, який із них більший або менший.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog