⚡️ Множення, піднесення до степеня та звільнення від ірраціональності

Продовжуємо тренуватися працювати з ірраціональними виразами!
Цього разу згадаємо, як правильно множити, підносити до степеня вирази з коренями, а також як позбавлятися коренів у знаменнику дробу — операція, яку часто перевіряють на НМТ.

🔍 Множення виразів, що містять корені. Для того щоб виконувати дії множення або піднесення до степеня виразів, що містять корені, потрібно пам'ятати дві такі формули:

√𝑎 ⋅ √𝑏 = √(𝑎 ⋅ 𝑏),
(√𝑎)² = 𝑎.

✈️ Приклади:
🔍 √3 ⋅ (√12 – √3) = √3 ⋅ √12 – √3 ⋅ √3 = √36 – √9 = 6 – 3 = 3;
🔍 (1 + √18)(3 – √2) = 1 ⋅ 3 – 1 ⋅ √2 + √18 ⋅ 3 – √18 ⋅ √2 = 3 – √2 + 3√18 – √36 = 3 – √2 + 9√2 – 6 = 8√2 – 3;
🔍 (√7 – √5)(√7 + √5) = (√7)² – (√5)² = 7 – 5 = 2;
🔍 (√3 + 2)² – 4√3 = (√3)² + 2 ⋅ √3 ⋅ 2 + 2² – 4√3 = 3 + 4√3 + 4 – 4√3 = 7.

🔍 Звільнення від ірраціональності в знаменнику — це перетворення, яке допомагає зробити дріб зручнішим для подальших обчислень; це процес, коли ми перетворюємо дріб так, щоб у знаменнику не залишилося коренів.

✈️ Розрізняють два типи таких завдань:

🔍 Випадок 1. Знаменник містить один квадратний корінь. Потрібно домножити чисельник і знаменник на цей самий корінь.
✈️ Приклад: 10/√5 = (10 ⋅ √5) / (√5 ⋅ √5) = 10√5/5 = 2√5.

🔍 Випадок 2. Знаменник містить суму або різницю коренів. Домножаємо чисельник і знаменник на спряжений вираз (змінюємо знак між доданками) і використовуємо формулу різниці квадратів:

(𝑎 – 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎² – 𝑏².

✈️ Приклади:
🔍 1 / (√5 – 2) = 1 ⋅ (√5 + 2) / [(√5 – 2) ⋅ (√5 + 2)] = (√5 + 2) / [(√5)² – 2²] = (√5 + 2) / (5 – 4) = √5 + 2.
🔍 7 / (3 + √2) = 7(3 – √2) / [(3 + √2)(3 – √2)] = 7(3 – √2) / [3² – (√2)²] = 7(3 – √2) / (9 – 2) = 7(3 – √2) / 7 = 3 – √2.

💡 Поради:
🟠 Намагайтся визначати формули скороченого множення — вони часто дуже допомагають.
🟠 Після звільнення від ірраціональності завжди спрощуйте чисельник.
🟠 Не забувайте, що домножати у дробах потрібно і чисельник, і знаменник.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog