⚡️ Винесення і внесення множників у коренях. Додавання і віднімання коренів

Ірраціональні вирази на перший погляд здаються складними, але вони підкоряються чітким правилам. Уміння виносити множники з-під знака кореня та вносити їх під знак кореня допомагає суттєво спрощувати вирази, скорочувати обчислення й робити їх більш наочними.

🔍 Винесення множника з-під знака кореня — це перетворення, у результаті якого вираз виду √(𝑎 ⋅ 𝑏) записується як добуток числа, винесеного з-під кореня, і кореня з іншого множника.

✈️ Алгоритм дій:
1️⃣ Розкладіть підкореневий вираз на множники так, щоб один з них був повним квадратом (для квадратного кореня) або відповідним степенем (для інших коренів).
2️⃣ Застосуйте правило: √(𝑎 ⋅ 𝑏) = √𝑎 ⋅ √𝑏.
3️⃣ Обчисліть корінь із повного степеня.
4️⃣ Запишіть результат у вигляді добутку винесеного множника і кореня.

✈️ Приклади:
🔍 √50 = √(25 ⋅ 2) = √25 ⋅ √2 = 5√2;
🔍 ³√81 = ³√(27 ⋅ 3) = ³√27 ⋅ ³√3 = 3³√3;
🔍 ³√(6𝑥³) = ³√6 ⋅ ³√𝑥³ = 𝑥³√6.
Отже, ми просто «витягаємо» з-під кореня те, що можна добути без залишку.

🔍 Внесення множника під знак кореня — це обернене перетворення: добуток раціонального числа та кореня записують у вигляді одного кореня.

✈️ Алгоритм дій:
1️⃣ Визначте знак множника.
2️⃣ Якщо множник невід’ємний, треба піднести його до степеня кореня і записати під знаком кореня.
3️⃣ Якщо множник від’ємний:
• для парного кореня треба залишити «–» перед знаком кореня,
• для непарного — внести знак разом із числом.
4️⃣ Спростіть підкореневий вираз.

✈️ Приклади:
🔍3√2 = √(3² ⋅ 2) = √18;
🔍–2√5 = –√(2² ⋅ 5) = –√20;
🔍2 ⋅ ⁴√7 = ⁴√(2⁴ ⋅ 7) = ⁴√112.
Так ми «згортаємо» вираз назад у компактну форму.

💡 Зверніть увагу: ці операції часто використовують, коли потрібно:
🟠 спростити дробові кореневі вирази;
🟠 раціоналізувати знаменник (буде наведено пізніше);
🟠 привести вирази до однакового виду.

🔍 Додавання і віднімання коренів: додавати або віднімати можна тільки ті корені, які мають однакову підкореневу частину.

✈️ Алгоритм дій:
1️⃣ Перевірте, чи однакові підкореневі частини.
2️⃣ Якщо вони різні, внесіть або винесіть множники, щоб отримати однакові підкореневі вирази.
3️⃣ Коли підкореневі частини стали однаковими — додайте або відніміть коефіцієнти перед коренем.
4️⃣ Запишіть результат у спрощеному вигляді.

✈️ Приклади:
🔍√50 – √8 = √(25 ⋅ 2) – √(4 ⋅ 2) = 5√2 – 2√2 = 3√2;
🔍√(16𝑥) + √(9𝑥) = 4√𝑥 + 3√𝑥 = 7√𝑥.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog