⚡️ Комбіновані методи розкладання на множники

Ми з вами розглянули окремо кожен метод розкладання многочленів на множники. Чи бувають ситуації, коли треба поєднувати різні методи? Так, бувають, і ми з вами їх сьогодні подивимось.

🔍 Комбінований підхід — це поєднання різних методів: винесення спільного множника, групування, використання формул скороченого множення.

✈️ Приклади:
🔍 6𝑥³ – 24𝑥 = 6𝑥(𝑥² – 4) = 6𝑥(𝑥 – 2)(𝑥 + 2)
✈️ Спершу винесли 6𝑥, потім застосували формулу різниці квадратів.

🔍 𝑥³ + 2𝑥² – 9𝑥 – 18 = (𝑥³ + 2𝑥²) – (9𝑥 + 18) = 𝑥²(𝑥 + 2) – 9(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥² – 9) = (𝑥 + 2)(𝑥 – 3)(𝑥 + 3)
✈️ Спершу групування, потім формула різниці квадратів.

🔍 –4𝑎² + 16𝑎𝑏 – 16𝑏² = –4(𝑎² – 4𝑎𝑏 + 4𝑏²) = –4(𝑎 – 2𝑏)²
✈️ Винесення спільного множника та використання квадрата різниці.

🔍 9𝑚² + 6𝑚𝑛 + 𝑛² – 25 = (3𝑚 + 𝑛)² – 5² = (3𝑚 + 𝑛 – 5)(3𝑚 + 𝑛 + 5)
✈️ Спершу впізнали квадрат суми, потім — різницю квадратів.

🔍 𝑥⁴ – 16 = (𝑥²)² – 4² = (𝑥² – 4)(𝑥² + 4) = (𝑥 – 2)(𝑥 + 2)(𝑥² + 4)
✈️ Комбінація двох формул поспіль — спочатку різниця квадратів, потім ще раз.

🔍 5𝑥³ + 10𝑥²𝑦 – 45𝑥𝑦² – 90𝑦³ = (5𝑥³ + 10𝑥²𝑦) – (45𝑥𝑦² + 90𝑦³) = 5𝑥²(𝑥 + 2𝑦) – 45𝑦²(𝑥 + 2𝑦) = (𝑥 + 2𝑦)(5𝑥² – 45𝑦²) = 5(𝑥 + 2𝑦)(𝑥² – 9𝑦²) = 5(𝑥 + 2𝑦)(𝑥 – 3𝑦)(𝑥 + 3𝑦)
✈️ Ускладнений приклад, де комбіновано групування + формулу різниці квадратів.

🔥 Як бачимо, комбінований метод дозволяє розкладати навіть найскладніші вирази, якщо мислити крок за кроком і бачити структуру виразу.

💡 Порада: якщо в виразі є спільний множник або знайомі формули — почніть із них. Це спростить подальші дії.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Дробово раціональні вирази. Область допустимих значень виразу. Скорочення дробів

Після роботи з цілими виразами переходимо до нового рівня — дробово раціональних виразів. Вони виглядають складніше, але насправді це ті самі знайомі дроби, тільки з літерами.

🔍 Дробово раціональний вираз — вираз, що містить дію ділення на вираз зі змінною.

✈️ Приклади:
🔍 8/𝑥,
🔍(𝑥 + 3)/(𝑥 – 1),
🔍(𝑎² – 9)/(3𝑎),
🔍(2𝑦 + 4)/(𝑦² + 2𝑦).

🔍 Область допустимих значень (ОДЗ) виразу — це усі значення змінної, за яких цей вираз має зміст.
✈️ Приклади:
🔍вираз 6𝑥 + 3 має зміст при всіх значеннях 𝑥;
🔍вираз (𝑥 + 3)/(𝑥 – 1) НЕ має змісту при 𝑥 – 1 = 0, тобто при 𝑥 = 1,
🔍вираз (3𝑎)/(𝑎² – 9) НЕ має змісту при 𝑎² – 9 = 0 → (𝑎 – 3)(𝑎 + 3) = 0 тобто при 𝑎 = –3 або 𝑎 = 3.
🔍вираз (2𝑦 + 4)/(𝑦² + 4) має зміст при всіх значеннях 𝑦, бо 𝑦² + 4 ≠ 0.

🔍 Основна властивість дробово-раціонального виразу. Чисельник і знаменник раціонального дробу можна помножити або поділити на один і той самий множник, при цьому значення раціонального дробу не зміниться:

(𝐴 ⋅ 𝑁) / (𝐵 ⋅ 𝑁) = 𝐴 / 𝐵, якщо 𝑁 ≠ 0.

✈️ Алгоритм скорочення дробу
1. Розкладіть чисельник і знаменник дробу на множники, застосувавши один із відомих способів (винесення спільного множника за дужки, спосіб групування, використання формул скороченого множення) або їх комбінацію.
2. Визначте спільний множник чисельника та знаменника.
3. Скоротіть дріб, поділивши чисельник і знаменник дробу на їх спільний множник.

👀 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog