⚡️ Метод групування для розкладання на множники

Ми вже знаємо, як винести спільний множник за дужки. Але що робити, якщо спільного множника немає у всіх доданках? 🤔
Тоді на допомогу приходить метод групування — зручний інструмент, який дозволяє «знайти порядок у хаосі» навіть у виразах із чотирма чи більше доданками.

🔍 Суть методу:

1️⃣ Розбиваємо многочлен на групи, де в кожній є спільний множник.
2️⃣ Виносимо спільний множник із кожної групи.
3️⃣ Якщо в результаті в дужках з’явився однаковий вираз — виносимо його ще раз.

✈️ Приклади:
🔍 𝑥³ + 2𝑥² – 5𝑥 – 10 = (𝑥³ + 2𝑥²) – (5𝑥 + 10) = 𝑥²(𝑥 + 2) – 5(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥² – 5);
🔍 𝑎𝑏 – 6𝑏 + 𝑎𝑐 – 6𝑐 = (𝑎𝑏 – 6𝑏) + (𝑎𝑐 – 6𝑐) = 𝑏(𝑎 – 6) + 𝑐(𝑎 – 6) = (𝑎 – 6)(𝑏 + 𝑐).

💡 Зверніть увагу: коли записуємо в дужках пари, перевіряємо правильність знаків у дужках, особливо коли перед дужками стоїть знак "–".

🔍 Приклади розв’язання завдань

1️⃣ Розкладіть на множники вираз 𝑥² + 7𝑥 + 10.
✈️ Розв’язання: 7 можна розкласти як 5 + 2:
𝑥² + 5𝑥 + 2𝑥 + 10 = (𝑥² + 5𝑥) + (2𝑥 + 10) = 𝑥(𝑥 + 5) + 2(𝑥 + 5) = (𝑥 + 5)(𝑥 + 2).
Відповідь: (𝑥 + 5)(𝑥 + 2) 🔺

2️⃣ Обчисліть 25 ⋅ 41 + 75 ⋅ 41 – 25 ⋅ 21 – 75 ⋅ 21.
✈️ Розв’язання: використаємо метод групування:
(25 ⋅ 41 + 75 ⋅ 41) – (25 ⋅ 21 + 75 ⋅ 21) = 41(25 + 75) – 21(25 + 75) = (25 + 75)(41 – 21) = 100 ⋅ 20 = 2000.
Відповідь: 2000 🔺

🔑 Підсумок: метод групування — це не лише про алгебру, а й про логіку. Якщо правильно розподілити доданки, спільне обов’язково знайдеться 😉

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Розкладання на множники за допомогою формул скороченого множення

Бувають ситуації, що метод винесення не працює для всіх наявних доданків, а метод групування не вдається застосувати через «не зручну» кількість доданків. На допомогу приходять формули скороченого множення.

🔍 Різниця квадратів. Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці та суми цих виразів:

𝑎² – 𝑏² = (𝑎 – 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

✈️ Приклади:
🔍 𝑚² – 9 = 𝑚² – 3² = (𝑚 – 3)(𝑚 + 3);
🔍 16𝑥² – 49𝑦² = (4𝑥)² – (7𝑦)² = (4𝑥 – 7𝑦)(4𝑥 + 7𝑦);
🔍 (3𝑎 + 1)² – 𝑎² = ((3𝑎 + 1) – 𝑎)((3𝑎 + 1) + 𝑎) = (2𝑎 + 1)(4𝑎 + 1);
🔍 1005² – 995² = (1005 – 995)(1005 + 995) = 10 ⋅ 2000 = 20000.

🔍 Квадрат суми. Сума квадратів двох виразів та їх подвоєного добутку дорівнює квадрату суми цих виразів:

𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)²

✈️ Приклади:
🔍 𝑝² + 10𝑝 + 25 = (𝑝 + 5)²;
🔍 9𝑥² + 12𝑥𝑦 + 4𝑦² = (3𝑥 + 2𝑦)²;
🔍 42² + 42 ⋅ 36 + 18² = 42² + 2 ⋅ 42 ⋅ 18 + 18² = (42 + 18)² = 60² = 3600.

🔍 Квадрат різниці. Сума квадратів двох виразів та різниця подвоєного добутку цих виразів дорівнює квадрату різниці цих виразів:

𝑎² – 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 – 𝑏)²

✈️ Приклади:
🔍 𝑚² – 8𝑚 + 16 = (𝑚 – 4)²;
🔍 25𝑥² – 20𝑥𝑦 + 4𝑦² = (5𝑥 – 2𝑦)²;
🔍 69² – 69 ⋅ 38 + 19² = 69² – 2 ⋅ 69 ⋅ 19 + 19² = (69 – 19)² = 50² = 2500.

🔍 Сума кубів. Сума кубів двох виразів дорівнює добутку їхньої суми на неповний квадрат різниці:

𝑎³ + 𝑏³ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎² – 𝑎𝑏 + 𝑏²)

✈️ Приклад: 8𝑥³ + 27𝑦³ = (2𝑥)³ + (3𝑦)³ = (2𝑥 + 3𝑦)(4𝑥² – 6𝑥𝑦 + 9𝑦²).

🔍 Різниця кубів. Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку їхньої різниці на неповний квадрат суми:

𝑎³ – 𝑏³ = (𝑎 – 𝑏)(𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²)

✈️ Приклад: 𝑚³ – 8𝑛³ = 𝑚³ – (2𝑛)³ = (𝑚 – 2𝑛)(𝑚² + 2𝑚𝑛 + 4𝑛²)

💡 Порада: щоб швидше розпізнавати потрібну формулу, шукайте знайомі «ознаки»:
🟠вираз із трьома доданками та квадратами перших і других членів → квадрат суми або різниці;
🟠знак «мінус» між квадратами → різниця квадратів;
🟠куби → шукайте суму або різницю кубів.
З досвідом ви почнете бачити ці закономірності одразу, як тільки глянете на вираз 👀

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog