⚡️Винесення спільного множника за дужки

Ви вже звикли розкривати дужки й спрощувати вирази. Тепер настав час зробити навпаки — навчитися створювати дужки. Саме це й є розкладання многочлена на множники — перетворення виразу у вигляд добутку простіших частин.

✈️ Метод винесення спільного множника — це один із способів розкладання многочленів на множники, він полягає у представленні виразу у вигляді добутку, винісши спільний множник усіх доданків за дужки.

✈️ Приклади
🔍 5𝑥 + 20 = 5𝑥 + 5 ⋅ 4 = 5(𝑥 + 4);
🔍 𝑎² + 3𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑎 + 3𝑎 = 𝑎(𝑎 + 3);
🔍 6𝑥²𝑦 – 9𝑥𝑦² = 3𝑥𝑦 ⋅ 2𝑥 – 3𝑥𝑦 ⋅ 3𝑦 = 3𝑥𝑦(2𝑥 – 3𝑦);
🔍 12𝑚³ – 8𝑚² + 4𝑚 = 4𝑚 ⋅ 3𝑚² – 4𝑚 ⋅ 2𝑚 + 4𝑚 ⋅ 1 = 4𝑚(3𝑚² – 2𝑚 + 1).

✈️ Як перевірити правильність? Розкрийте дужки й переконайтеся, що отримали початковий вираз. Це — найпростіший спосіб упевнитися, що винесення виконано правильно.
✈️ Наприклад: якщо 6𝑝² – 10𝑝 = 2𝑝(3𝑝 – 5), то 2𝑝(3𝑝 – 5) = 6𝑝² – 10𝑝. Усе правильно!

🔍 Приклади розв’язання завдань

1️⃣ Відомо, що 8𝑎 – 12𝑏 = 28. Знайдіть значення виразу 3𝑏 – 2𝑎.
✈️ Розв’язання: 8𝑎 – 12𝑏 = 28 → 4(2𝑎 – 3𝑏) = 28 → 2𝑎 – 3𝑏 = 28/4 = 7 → –(3𝑏 – 2𝑎) = 7 → 3𝑏 – 2𝑎 = –7.
Відповідь: –7. 🔺

2️⃣ Розкладіть на множники:
1) 4𝑎(𝑎 – 2) + 7(𝑎 – 2)
2) (𝑥 + 5)² – (𝑥 + 5)
✈️ Розв’язання:
1) 4𝑎(𝑎 – 2) + 7(𝑎 – 2) = (𝑎 – 2)(4𝑎 + 7);
2) (𝑥 + 5)² – (𝑥 + 5) = (𝑥 + 5)((𝑥 + 5) – 1) = (𝑥 + 5)(𝑥 + 4).

3️⃣ Обчисліть: 45 ⋅ 28 + 55 ⋅ 28
✈️ Розв’язання: 45 ⋅ 28 + 55 ⋅ 28 = 28(45 + 55) = 28 ⋅ 100 = 2800.
Відповідь: 2800. 🔺

✏️ Порада: метод винесення — основа для більш складних методів (групування, формули скороченого множення тощо). Освоївши його, ви зможете значно легше розкладати будь-які многочлени.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Метод групування для розкладання на множники

Ми вже знаємо, як винести спільний множник за дужки. Але що робити, якщо спільного множника немає у всіх доданках? 🤔
Тоді на допомогу приходить метод групування — зручний інструмент, який дозволяє «знайти порядок у хаосі» навіть у виразах із чотирма чи більше доданками.

🔍 Суть методу:

1️⃣ Розбиваємо многочлен на групи, де в кожній є спільний множник.
2️⃣ Виносимо спільний множник із кожної групи.
3️⃣ Якщо в результаті в дужках з’явився однаковий вираз — виносимо його ще раз.

✈️ Приклади:
🔍 𝑥³ + 2𝑥² – 5𝑥 – 10 = (𝑥³ + 2𝑥²) – (5𝑥 + 10) = 𝑥²(𝑥 + 2) – 5(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥² – 5);
🔍 𝑎𝑏 – 6𝑏 + 𝑎𝑐 – 6𝑐 = (𝑎𝑏 – 6𝑏) + (𝑎𝑐 – 6𝑐) = 𝑏(𝑎 – 6) + 𝑐(𝑎 – 6) = (𝑎 – 6)(𝑏 + 𝑐).

💡 Зверніть увагу: коли записуємо в дужках пари, перевіряємо правильність знаків у дужках, особливо коли перед дужками стоїть знак "–".

🔍 Приклади розв’язання завдань

1️⃣ Розкладіть на множники вираз 𝑥² + 7𝑥 + 10.
✈️ Розв’язання: 7 можна розкласти як 5 + 2:
𝑥² + 5𝑥 + 2𝑥 + 10 = (𝑥² + 5𝑥) + (2𝑥 + 10) = 𝑥(𝑥 + 5) + 2(𝑥 + 5) = (𝑥 + 5)(𝑥 + 2).
Відповідь: (𝑥 + 5)(𝑥 + 2) 🔺

2️⃣ Обчисліть 25 ⋅ 41 + 75 ⋅ 41 – 25 ⋅ 21 – 75 ⋅ 21.
✈️ Розв’язання: використаємо метод групування:
(25 ⋅ 41 + 75 ⋅ 41) – (25 ⋅ 21 + 75 ⋅ 21) = 41(25 + 75) – 21(25 + 75) = (25 + 75)(41 – 21) = 100 ⋅ 20 = 2000.
Відповідь: 2000 🔺

🔑 Підсумок: метод групування — це не лише про алгебру, а й про логіку. Якщо правильно розподілити доданки, спільне обов’язково знайдеться 😉

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog