⚡️ Формули скороченого множення

Для того щоб не розкривати кожен раз один і той самий вид дужок, що часто зустрічається в задачах, є скорочені форми їх запису. Тут розглянемо основні формули скороченого множення, необхідні для НМТ з математики.

✈️ Формули скороченого множення — це поширені випадки множення многочленів.

1️⃣ Різниця квадратів. Добуток суми і різниці двох виразів дорівнює різниці квадратів цих виразів:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏) = 𝑎² – 𝑏²

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 + 7)(𝑥 – 7) = 𝑥² – 7² = 𝑥² – 49;
✈️ (3𝑚 – 2𝑛)(3𝑚 + 2𝑛) = (3𝑚)² – (2𝑛)² = 9𝑚² – 4𝑛².

💡 Доведемо формулу:
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏) = 𝑎² – 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 – 𝑏² = 𝑎² – 𝑏²

2️⃣ Квадрат суми. Квадрат суми двох виразів дорівнює сумі квадратів цих виразів і подвоєного добутку:

(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 + 4)² = 𝑥² + 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 4 + 4² = 𝑥² + 8𝑥 + 16;
✈️ (2𝑝 + 3𝑞)² = (2𝑝)² + 2 ⋅ 2𝑝 ⋅ 3𝑞 + (3𝑞)² = 4𝑝² + 12𝑝𝑞 + 9𝑞².

💭 Звідки з’являється 2𝑎𝑏?
(𝑎 + 𝑏)² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²

3️⃣ Квадрат різниці. Квадрат різниці двох виразів дорівнює сумі квадратів кожного та різниці подвоєного добутку:

(𝑎 – 𝑏)² = 𝑎² – 2𝑎𝑏 + 𝑏²

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 – 5)² = 𝑥² – 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 5 + 5² = 𝑥² – 10𝑥 + 25;
✈️ (3𝑘 – 4𝑡)² = (3𝑘)² – 2 ⋅ 3𝑘 ⋅ 4𝑡 + (4𝑡)² = 9𝑘² – 24𝑘𝑡 + 16𝑡².

4️⃣ Сума кубів. Добуток суми двох виразів і неповного квадрату їх різниці дорівнює сумі кубів цих виразів:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎² – 𝑎𝑏 + 𝑏²) = 𝑎³ + 𝑏³

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 + 2)(𝑥² – 2𝑥 + 4) = 𝑥³ + 2³ = 𝑥³ + 8
✈️ (3𝑚 + 5𝑛)(9𝑚² – 15𝑚𝑛 + 25𝑛²) = (3𝑚)³ + (5𝑛)³ = 27𝑚³ + 125𝑛³

5️⃣ Різниця кубів. Добуток різниці двох виразів і неповного квадрату їх суми дорівнює різниці кубів цих виразів:

(𝑎 – 𝑏)(𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²) = 𝑎³ – 𝑏³

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 – 4)(𝑥² + 4𝑥 + 16) = 𝑥³ – 4³ = 𝑥³ – 64;
✈️ (2𝑎 – 3𝑏)(4𝑎² + 6𝑎𝑏 + 9𝑏²) = (2𝑎)³ – (3𝑏)³ = 8𝑎³ – 27𝑏³.

❗️ Зверніть увагу! У довідкових матеріалах до НМТ з математики є перші три формули скороченого множення. І саме ці три перші формули є дуже важливими, адже надалі вони будуть постійно зустрічатися.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog