⚡️ Многочлени

Ми вже знаємо, як працювати з одночленами. Тепер переходимо до складніших виразів — многочленів. Вони є важливою частиною алгебри та зустрічаються практично в багатьох темах надалі.

🔍 Многочлен — це цілий алгебраїчний вираз, що складається з суми або різниці кількох одночленів. Кожен одночлен у складі многочлена називають членом многочлена.
✈️ Приклади:
✈️ 4𝑥𝑦² + 2𝑥²𝑦 — двочлен;
✈️ 3𝑎² – 7𝑎 + 5 — тричлен;
✈️ 𝑎³𝑏² – 4𝑎²𝑏 + 2𝑎𝑏² + 9 — чотиричлен;
✈️ 8𝑥, 𝑐, –11 — многочлени, що складаються лише з одного члена.

✈️ Подібні члени — це одночлени, які мають однакову буквені частину, але можуть відрізнятися коефіцієнтами.
✈️ Приклад: 5𝑎𝑏² + 3𝑎²𝑏 – 7𝑎𝑏² → тут 5𝑎𝑏² і –7𝑎𝑏² — подібні члени.

✈️ Щоб звести подібні члени, потрібно:
1️⃣ додати (або відняти) їхні коефіцієнти;
2️⃣ записати спільну буквену частину.

✈️ Приклад: 3𝑎𝑏 – 2𝑏² + 5𝑎𝑏 + 𝑏² = (3𝑎𝑏 + 5𝑎𝑏) + (–2𝑏² + 𝑏²) = 8𝑎𝑏 – 𝑏².

✈️ Стандартний вигляд многочлена — це вираз, який:
🟠 складається з одночленів стандартного вигляду;
🟠 не має подібних членів;
🟠 часто записується за спаданням степенів.
✈️ Приклади:
✈️ 2𝑥³ + 5𝑥²𝑦 – 4𝑥𝑦² + 7 — стандартний вигляд;
✈️ 6𝑎𝑏 + 2𝑏𝑎² – 3𝑎𝑏 — нестандартний, бо порушено порядок і подібні члени не зведені.

✈️ Степінь многочлена — найбільший серед степенів його одночленів.
✈️ Приклад: для виразу 3𝑥²𝑦³ – 6𝑥⁴𝑦 + 𝑥𝑦⁵:
🟠 3𝑥²𝑦³ → степінь 2 + 3 = 5;
🟠 –6𝑥⁴𝑦 → степінь 4 + 1 = 5;
🟠 𝑥𝑦⁵ → степінь 1 + 5 = 6;
Отже, степінь цього многочлена — 6.

⚙️ Основні дії з многочленами

1️⃣ Додавання многочленів. Якщо перед дужками стоїть «+», просто прибираємо дужки та зводимо подібні члени.
✈️ Приклад: (2𝑥² – 4𝑥 + 3) + (5𝑥² + 7𝑥 – 2) = 2𝑥² – 4𝑥 + 3 + 5𝑥² + 7𝑥 – 2 = 7𝑥² + 3𝑥 + 1

2️⃣ Віднімання многочленів. Якщо перед дужками стоїть «–», прибираємо дужки, змінивши знаки всередині на протилежні.
✈️ Приклад: (3𝑎² – 5𝑎 + 1) – (𝑎² + 2𝑎 – 3) = 3𝑎² – 5𝑎 + 1 – 𝑎² – 2𝑎 + 3 = 2𝑎² – 7𝑎 + 4

3️⃣ Множення одночлена на многочлен. Кожен член многочлена множимо на одночлен і додаємо результати.
✈️ Приклад: 4𝑥(2𝑥² – 3𝑥 + 1) = 4𝑥 · 2𝑥² – 4𝑥 · 3𝑥 + 4𝑥 · 1 = 8𝑥³ – 12𝑥² + 4𝑥

4️⃣ Множення многочлена на многочлен. Кожен член першого многочлена множимо на кожен член другого (множимо «фонтанчиком») і зводимо подібні.
✈️ Приклад: (𝑎 – 4)(2𝑎 + 3) = 2𝑎² + 3𝑎 – 8𝑎 – 12 = 2𝑎² – 5𝑎 – 12

💡 Порада: під час виконання дій із многочленами корисно підкреслювати подібні члени різними кольорами або маркерами чи різними лініями — це допомагає уникнути помилок при зведенні.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Формули скороченого множення

Для того щоб не розкривати кожен раз один і той самий вид дужок, що часто зустрічається в задачах, є скорочені форми їх запису. Тут розглянемо основні формули скороченого множення, необхідні для НМТ з математики.

✈️ Формули скороченого множення — це поширені випадки множення многочленів.

1️⃣ Різниця квадратів. Добуток суми і різниці двох виразів дорівнює різниці квадратів цих виразів:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏) = 𝑎² – 𝑏²

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 + 7)(𝑥 – 7) = 𝑥² – 7² = 𝑥² – 49;
✈️ (3𝑚 – 2𝑛)(3𝑚 + 2𝑛) = (3𝑚)² – (2𝑛)² = 9𝑚² – 4𝑛².

💡 Доведемо формулу:
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 – 𝑏) = 𝑎² – 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 – 𝑏² = 𝑎² – 𝑏²

2️⃣ Квадрат суми. Квадрат суми двох виразів дорівнює сумі квадратів цих виразів і подвоєного добутку:

(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 + 4)² = 𝑥² + 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 4 + 4² = 𝑥² + 8𝑥 + 16;
✈️ (2𝑝 + 3𝑞)² = (2𝑝)² + 2 ⋅ 2𝑝 ⋅ 3𝑞 + (3𝑞)² = 4𝑝² + 12𝑝𝑞 + 9𝑞².

💭 Звідки з’являється 2𝑎𝑏?
(𝑎 + 𝑏)² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²

3️⃣ Квадрат різниці. Квадрат різниці двох виразів дорівнює сумі квадратів кожного та різниці подвоєного добутку:

(𝑎 – 𝑏)² = 𝑎² – 2𝑎𝑏 + 𝑏²

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 – 5)² = 𝑥² – 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 5 + 5² = 𝑥² – 10𝑥 + 25;
✈️ (3𝑘 – 4𝑡)² = (3𝑘)² – 2 ⋅ 3𝑘 ⋅ 4𝑡 + (4𝑡)² = 9𝑘² – 24𝑘𝑡 + 16𝑡².

4️⃣ Сума кубів. Добуток суми двох виразів і неповного квадрату їх різниці дорівнює сумі кубів цих виразів:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎² – 𝑎𝑏 + 𝑏²) = 𝑎³ + 𝑏³

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 + 2)(𝑥² – 2𝑥 + 4) = 𝑥³ + 2³ = 𝑥³ + 8
✈️ (3𝑚 + 5𝑛)(9𝑚² – 15𝑚𝑛 + 25𝑛²) = (3𝑚)³ + (5𝑛)³ = 27𝑚³ + 125𝑛³

5️⃣ Різниця кубів. Добуток різниці двох виразів і неповного квадрату їх суми дорівнює різниці кубів цих виразів:

(𝑎 – 𝑏)(𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²) = 𝑎³ – 𝑏³

✈️ Приклади:
✈️ (𝑥 – 4)(𝑥² + 4𝑥 + 16) = 𝑥³ – 4³ = 𝑥³ – 64;
✈️ (2𝑎 – 3𝑏)(4𝑎² + 6𝑎𝑏 + 9𝑏²) = (2𝑎)³ – (3𝑏)³ = 8𝑎³ – 27𝑏³.

❗️ Зверніть увагу! У довідкових матеріалах до НМТ з математики є перші три формули скороченого множення. І саме ці три перші формули є дуже важливими, адже надалі вони будуть постійно зустрічатися.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog