⚡️ Многочлени

Ми вже знаємо, як працювати з одночленами. Тепер переходимо до складніших виразів — многочленів. Вони є важливою частиною алгебри та зустрічаються практично в багатьох темах надалі.

🔍 Многочлен — це цілий алгебраїчний вираз, що складається з суми або різниці кількох одночленів. Кожен одночлен у складі многочлена називають членом многочлена.
✈️ Приклади:
✈️ 4𝑥𝑦² + 2𝑥²𝑦 — двочлен;
✈️ 3𝑎² – 7𝑎 + 5 — тричлен;
✈️ 𝑎³𝑏² – 4𝑎²𝑏 + 2𝑎𝑏² + 9 — чотиричлен;
✈️ 8𝑥, 𝑐, –11 — многочлени, що складаються лише з одного члена.

✈️ Подібні члени — це одночлени, які мають однакову буквені частину, але можуть відрізнятися коефіцієнтами.
✈️ Приклад: 5𝑎𝑏² + 3𝑎²𝑏 – 7𝑎𝑏² → тут 5𝑎𝑏² і –7𝑎𝑏² — подібні члени.

✈️ Щоб звести подібні члени, потрібно:
1️⃣ додати (або відняти) їхні коефіцієнти;
2️⃣ записати спільну буквену частину.

✈️ Приклад: 3𝑎𝑏 – 2𝑏² + 5𝑎𝑏 + 𝑏² = (3𝑎𝑏 + 5𝑎𝑏) + (–2𝑏² + 𝑏²) = 8𝑎𝑏 – 𝑏².

✈️ Стандартний вигляд многочлена — це вираз, який:
🟠 складається з одночленів стандартного вигляду;
🟠 не має подібних членів;
🟠 часто записується за спаданням степенів.
✈️ Приклади:
✈️ 2𝑥³ + 5𝑥²𝑦 – 4𝑥𝑦² + 7 — стандартний вигляд;
✈️ 6𝑎𝑏 + 2𝑏𝑎² – 3𝑎𝑏 — нестандартний, бо порушено порядок і подібні члени не зведені.

✈️ Степінь многочлена — найбільший серед степенів його одночленів.
✈️ Приклад: для виразу 3𝑥²𝑦³ – 6𝑥⁴𝑦 + 𝑥𝑦⁵:
🟠 3𝑥²𝑦³ → степінь 2 + 3 = 5;
🟠 –6𝑥⁴𝑦 → степінь 4 + 1 = 5;
🟠 𝑥𝑦⁵ → степінь 1 + 5 = 6;
Отже, степінь цього многочлена — 6.

⚙️ Основні дії з многочленами

1️⃣ Додавання многочленів. Якщо перед дужками стоїть «+», просто прибираємо дужки та зводимо подібні члени.
✈️ Приклад: (2𝑥² – 4𝑥 + 3) + (5𝑥² + 7𝑥 – 2) = 2𝑥² – 4𝑥 + 3 + 5𝑥² + 7𝑥 – 2 = 7𝑥² + 3𝑥 + 1

2️⃣ Віднімання многочленів. Якщо перед дужками стоїть «–», прибираємо дужки, змінивши знаки всередині на протилежні.
✈️ Приклад: (3𝑎² – 5𝑎 + 1) – (𝑎² + 2𝑎 – 3) = 3𝑎² – 5𝑎 + 1 – 𝑎² – 2𝑎 + 3 = 2𝑎² – 7𝑎 + 4

3️⃣ Множення одночлена на многочлен. Кожен член многочлена множимо на одночлен і додаємо результати.
✈️ Приклад: 4𝑥(2𝑥² – 3𝑥 + 1) = 4𝑥 · 2𝑥² – 4𝑥 · 3𝑥 + 4𝑥 · 1 = 8𝑥³ – 12𝑥² + 4𝑥

4️⃣ Множення многочлена на многочлен. Кожен член першого многочлена множимо на кожен член другого (множимо «фонтанчиком») і зводимо подібні.
✈️ Приклад: (𝑎 – 4)(2𝑎 + 3) = 2𝑎² + 3𝑎 – 8𝑎 – 12 = 2𝑎² – 5𝑎 – 12

💡 Порада: під час виконання дій із многочленами корисно підкреслювати подібні члени різними кольорами або маркерами чи різними лініями — це допомагає уникнути помилок при зведенні.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog