🔥 Степінь із раціональним показником

Ми вже знаємо, що робити зі степенями з цілими показниками.
А тепер час розібратися з раціональними показниками, які часто з’являються у дробових показників. Це завершальний крок до повного розуміння степеневих виразів 💪

🔍 Степінь із раціональним показником — це вираз виду
𝑎ᵐᐟⁿ, де 𝑎 > 0, 𝑚 — ціле число, 𝑛 — натуральне. За означенням:

𝑎ᵐᐟⁿ = ⁿ√(𝑎ᵐ)

✈️ Приклади:
✈️ 9¹ᐟ² = √9 = 3;
✈️ 16⁻³ᐟ⁴ = 1/⁴√(16³) = 1/8;
✈️ (0,027)²ᐟ³ = ³√(0,027²) = ³√(0,000729) = 0,09.

✈️ Як зручно обчислювати? Пам’ятаємо властивість: (𝑎ᵐ)ⁿ = 𝑎ᵐⁿ
Тож іноді простіше спочатку піднести до степеня, а потім добути корінь — або навпаки.
✈️ Приклади:
✈️ 27¹ᐟ³ = (3³)¹ᐟ³ = 3;
✈️ 625³ᐟ⁴ = (5⁴)³ᐟ⁴ = 5³ = 125;
✈️ 0,008⁻²ᐟ³ = (0,2³)⁻²ᐟ³ = 0,2⁻² = (1/5)⁻² = 5² = 25.

❓ Чому 𝑎ᵐᐟⁿ визначене лише для 𝑎 > 0? Розглянемо приклад: (–8)¹ᐟ³.

1️⃣ За змістом кубічного кореня: ∛(–8) = –2.
2️⃣ За властивістю степенів: (–8)¹ᐟ³ = (–8)²ᐟ⁶ = 64¹ᐟ⁶ = 2.

Маємо дві різні відповіді: –2 і 2.
Отже, для уникнення суперечностей ми вважаємо, що 𝑎 > 0.

✈️ Основні властивості степенів із раціональним показником:

𝑎ᵐ ⋅ 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ⁺ⁿ

✈️ Приклад: 𝑥⁰⋅⁵ ⋅ 𝑥⁻¹⋅² = 𝑥⁻⁰⋅⁷

𝑎ᵐ : 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ⁻ⁿ

✈️ Приклад: 𝑥²ᐟ³ : 𝑥¹ᐟ⁶ = 𝑥²ᐟ³⁻¹ᐟ⁶ = 𝑥³ᐟ⁶ = 𝑥¹ᐟ²

(𝑎ᵐ)ⁿ = 𝑎ᵐⁿ

✈️ Приклад: (𝑥³ᐟ⁴)²ᐟ³ = 𝑥³ᐟ⁴⋅²ᐟ³ = 𝑥¹ᐟ²

(𝑎𝑏)ⁿ = 𝑎ⁿ ⋅ 𝑏ⁿ

✈️ Приклад: (𝑥𝑦)²ᐟ⁵ = 𝑥²ᐟ⁵ ⋅ 𝑦²ᐟ⁵

(𝑎/𝑏)ⁿ = 𝑎ⁿ / 𝑏ⁿ

✈️ Приклад: (𝑥/𝑦)⁻³ᐟ² = 𝑥⁻³ᐟ² / 𝑦⁻³ᐟ² = 𝑦³ᐟ² / 𝑥³ᐟ²

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog