🔥 Степінь із цілим показником

Ми вже знаємо, що степінь із натуральним показником означає багаторазове множення числа саме на себе. Але що робити, коли показник дорівнює нулю або є від’ємним числом? Саме про це й поговоримо.

🔍 Степінь із нульовим показником. Для будь-якого числа 𝑎 ≠ 0 виконується правило:

𝑎⁰ = 1

✈️ Приклади:
✈️ 7⁰ = 1;
✈️ (–12)⁰ = 1;
✈️ (√2)⁰ = 1.

❓ Чому так? Розглянемо вираз 𝑎ⁿ : 𝑎ⁿ.
1. За правилом ділення однакових чисел отримаємо 1.
2. За властивістю степенів: 𝑎ⁿ⁻ⁿ = 𝑎⁰.
Виходить, що 𝑎⁰ = 1.

🔍 Степінь із від’ємним показником. Нехай 𝑎 ≠ 0 і 𝑛 ∈ ℕ. Тоді

𝑎⁻ⁿ = 1/𝑎ⁿ

✈️ Приклади:
✈️ 3⁻² = 1/3² = 1/9;
✈️ (–5)⁻³ = 1/(–5)³ = –1/125;
✈️ (4/7)⁻² = 1/(4/7)² = 1/(16/49) = 49/16;
✈️ (1 ціла 1/2)⁻¹ = 1/(1 ціла 1/2)¹ = 1/(3/2) = 2/3;
✈️ (0,25)⁻² = 1/(0,25)² = 1/0,0625 = 16.

❓ Чому 𝑎⁻ⁿ = 1/𝑎ⁿ? Якщо скористатися правилом множення степенів:
𝑎ⁿ ⋅ 𝑎⁻ⁿ = 𝑎ⁿ⁺⁽⁻ⁿ⁾ = 𝑎⁰ = 1.
Отже, 𝑎⁻ⁿ — це просто обернене число до 𝑎ⁿ.
Нагадаю: два числа називають взаємно оберненими, якщо їхній добуток дорівнює 1.

✔️ Додаткова формула. Існує корисна формула, яку зручно застосовувати для степенів із від'ємним показником та дробовою основою:

(𝑎/𝑏)⁻ⁿ = (𝑏/𝑎)ⁿ

✈️ Приклади:
✈️ (1/6)⁻² = (6/1)² = 36;
✈️ (0,1)⁻³ = (1/10)⁻³ = (10/1)³ = 1000.

📌 Висновок: степені з нульовим і від’ємним показником розширюють наші можливості та роблять систему властивостей степенів узгодженою і зручною.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Властивості степеня з цілим показником

Коли ми працюємо зі степенями, дуже важливо розуміти, що ті ж самі правила, які діють для натуральних показників, чудово працюють і для від’ємних та нульових показників. Саме ці властивості дозволяють спрощувати громіздкі вирази й виконувати дії швидше та впевненіше 💪

🔍 Нагадаємо основні властивості степенів із цілим показником:

𝑎ᵐ ⋅ 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ⁺ⁿ

✈️ Приклад: 𝑥⁻² ⋅ 𝑥⁻⁷ = 𝑥⁻²⁺⁽⁻⁷⁾ = 𝑥⁻⁹

𝑎ᵐ : 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ⁻ⁿ

✈️ Приклад: 𝑥⁵ : 𝑥⁻³ = 𝑥⁵⁻⁽⁻³⁾ = 𝑥⁸

(𝑎ᵐ)ⁿ = 𝑎ᵐ⋅ⁿ

✈️ Приклад: (𝑥⁴)⁻⁵ = 𝑥⁻²⁰

(𝑎𝑏)ⁿ = 𝑎ⁿ ⋅ 𝑏ⁿ

✈️ Приклад: (𝑚𝑛)⁻³ = 𝑚⁻³ ⋅ 𝑛⁻³

(𝑎/𝑏)ⁿ = 𝑎ⁿ / 𝑏ⁿ

✈️ Приклад: (𝑎/𝑏)⁻² = 𝑎⁻² / 𝑏⁻²


🔍 Приклади використання властивостей

1️⃣ Спростіть: 𝑎⁻⁶ ⋅ 𝑎⁻⁴ : (𝑎⁻³)²
✈️ Розв’язання: 𝑎⁻⁶⁻⁴ : 𝑎⁻⁶ = 𝑎⁻¹⁰ / 𝑎⁻⁶ = 𝑎⁻⁴
Відповідь: 𝑎⁻⁴ 🔺

2️⃣ Обчисліть: (3⁻²)⁻³ : (3⁻⁴)⁻¹
✈️ Розв’язання: 3⁻²⋅⁽⁻³⁾ : 3⁻⁴⋅⁽⁻¹⁾ = 3⁶ : 3⁴ = 3² = 9
Відповідь: 9 🔺

3️⃣ Спростіть вираз: (2𝑚⁻³𝑛⁻²)/(8𝑚⁴𝑛⁻⁶)
✈️ Розв’язання:
2/8 = 1/4, 𝑚⁻³/𝑚⁴ = 𝑚⁻⁷, 𝑛⁻²/𝑛⁻⁶ = 𝑛⁴
Відповідь: 𝑛⁴/(4𝑚⁷) 🔺

4️⃣ Обчисліть: 50⁻³ / (25⁻² ⋅ 2⁻⁴)
✈️ Розв’язання:
50⁻³ = (25 ⋅ 2)⁻³ = 25⁻³ ⋅ 2⁻³
Тоді маємо: (25⁻³ ⋅ 2⁻³) / (25⁻² ⋅ 2⁻⁴) = 25⁻³⁻⁽⁻²⁾ ⋅ 2⁻³⁻⁽⁻⁴⁾ = 25⁻¹ ⋅ 2¹ = 2/25 = 0,08
Відповідь: 0,08 🔺

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog