🔥 Степінь із цілим показником

Ми вже знаємо, що степінь із натуральним показником означає багаторазове множення числа саме на себе. Але що робити, коли показник дорівнює нулю або є від’ємним числом? Саме про це й поговоримо.

🔍 Степінь із нульовим показником. Для будь-якого числа 𝑎 ≠ 0 виконується правило:

𝑎⁰ = 1

✈️ Приклади:
✈️ 7⁰ = 1;
✈️ (–12)⁰ = 1;
✈️ (√2)⁰ = 1.

❓ Чому так? Розглянемо вираз 𝑎ⁿ : 𝑎ⁿ.
1. За правилом ділення однакових чисел отримаємо 1.
2. За властивістю степенів: 𝑎ⁿ⁻ⁿ = 𝑎⁰.
Виходить, що 𝑎⁰ = 1.

🔍 Степінь із від’ємним показником. Нехай 𝑎 ≠ 0 і 𝑛 ∈ ℕ. Тоді

𝑎⁻ⁿ = 1/𝑎ⁿ

✈️ Приклади:
✈️ 3⁻² = 1/3² = 1/9;
✈️ (–5)⁻³ = 1/(–5)³ = –1/125;
✈️ (4/7)⁻² = 1/(4/7)² = 1/(16/49) = 49/16;
✈️ (1 ціла 1/2)⁻¹ = 1/(1 ціла 1/2)¹ = 1/(3/2) = 2/3;
✈️ (0,25)⁻² = 1/(0,25)² = 1/0,0625 = 16.

❓ Чому 𝑎⁻ⁿ = 1/𝑎ⁿ? Якщо скористатися правилом множення степенів:
𝑎ⁿ ⋅ 𝑎⁻ⁿ = 𝑎ⁿ⁺⁽⁻ⁿ⁾ = 𝑎⁰ = 1.
Отже, 𝑎⁻ⁿ — це просто обернене число до 𝑎ⁿ.
Нагадаю: два числа називають взаємно оберненими, якщо їхній добуток дорівнює 1.

✔️ Додаткова формула. Існує корисна формула, яку зручно застосовувати для степенів із від'ємним показником та дробовою основою:

(𝑎/𝑏)⁻ⁿ = (𝑏/𝑎)ⁿ

✈️ Приклади:
✈️ (1/6)⁻² = (6/1)² = 36;
✈️ (0,1)⁻³ = (1/10)⁻³ = (10/1)³ = 1000.

📌 Висновок: степені з нульовим і від’ємним показником розширюють наші можливості та роблять систему властивостей степенів узгодженою і зручною.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog