⚡️ Властивості степенів із натуральним показником

У попередньому дописі ми розглянули саме поняття степеня та приклади обчислень. Сьогодні зупинимося на його властивостях — правилах, які роблять роботу з виразами значно швидшою й зручнішою.

🔍 Основні властивості степеня:

𝑎ᵐ ⋅ 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ ⁺ ⁿ

✈️ Приклад: 𝑥² ⋅ 𝑥⁵ = 𝑥⁷

𝑎ᵐ : 𝑎ⁿ = 𝑎ᵐ ⁻ ⁿ

✈️ Приклад: 𝑥¹² : 𝑥⁴ = 𝑥⁸

(𝑎ᵐ)ⁿ = 𝑎ᵐⁿ

✈️ Приклад: (𝑦³)² = 𝑦⁶

(𝑎𝑏)ⁿ = 𝑎ⁿ ⋅ 𝑏ⁿ

✈️ Приклад: (2𝑥)³ = 2³ ⋅ 𝑥³ = 8𝑥³

(𝑎/𝑏)ⁿ = 𝑎ⁿ / 𝑏ⁿ

✈️ Приклад: (𝑝/𝑞)⁴ = 𝑝⁴ / 𝑞⁴

🔍 Приклади використання властивостей

1️⃣ Спростіть вираз: 𝑏⁷ ⋅ 𝑏⁵ / (𝑏³)³.
✈️ Розв’язання: 𝑏⁷ ⋅ 𝑏⁵ / (𝑏³)³ = 𝑏¹² / 𝑏⁹ = 𝑏³
Відповідь: 𝑏³ 🔺

2️⃣ Обчисліть: 2¹⁰ ⋅ (0,5)¹⁰.
✈️ Розв’язання: 2¹⁰ ⋅ (1/2)¹⁰ = 2¹⁰ / 2¹⁰ = 1
Відповідь: 1 🔺

3️⃣ Обчисліть: 16⁹ / 8¹¹.
✈️ Розв’язання: 16 = 2⁴, 8 = 2³ → 16⁸ / 8¹¹ = (2⁴)⁹ / (2³)¹¹ = 2³⁶ / 2³³ = 2³ = 8
Відповідь: 8 🔺

4️⃣ Порівняйте: 1) 25³ і 5⁷; 2) 7¹⁰ і 4¹⁵.
✈️ Розв’язання:
1) 25³ = (5²)³ = 5⁶ < 5⁷, отже 25³ < 5⁷.
2) 7¹⁰ = 7²⋅⁵ = (7²)⁵ = 49⁵, а 4¹⁵ = 4³⋅⁵ = (4³)⁵ = 64⁵. Якщо 49⁵ < 64⁵, то 7¹⁰ < 4¹⁵.
Відповідь: 1) 25³ < 5⁷; 2) 7¹⁰ < 4¹⁵. 🔺

5️⃣ Знайдіть останню цифру числа 7²⁰²⁵.
✈️ Розв’язання: степені числа 7 повторюють останні цифри через 4 кроки:
7¹ = 7,
7² = 49 (цифра 9),
7³ = 343 (цифра 3),
7⁴ = 2401 (цифра 1).
Далі цикл: 7, 9, 3, 1.
2025 ÷ 4 = 506 остача 1. Отже, остання цифра числа 7²⁰²⁵ збігається з 7¹ = 7 → цифра 7.
Відповідь: 7. 🔺

👀 Висновок: властивості степенів допомагають не тільки швидко обчислювати, а й спрощувати вирази, знаходити закономірності та порівнювати великі числа без калькулятора.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog