🔑 Найбільший спільний дільник та взаємно прості числа

Уявіть собі ситуацію: ви маєте кілька предметів і хочете розділити їх на групи так, щоб у кожній було однакова кількість. Яка ж найбільша кількість предметів може бути в кожній групі?
Саме для таких задач у математиці існує поняття найбільшого спільного дільника (НСД).

🔍 Найбільший спільний дільник (НСД) — це найбільше натуральне число, на яке націло ділиться кожне з даних чисел.

✈️ Приклад. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел 30 і 45.

🔍 Спосіб 1 (через дільники):
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30},
D(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45},
спільні дільники: {1, 3, 5, 15},
👉 найбільший з них — 15.
Отже, НСД(30; 45) = 15.

🔍 Спосіб 2 (через прості множники):
30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5,
45 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5,
спільні множники: 3 ⋅ 5 = 15.
👉 НСД(30; 45) = 15.

Відповідь: 15. 🔺

🔍 Взаємно прості числа — це такі числа, спільний дільник яких лише 1.

✈️ Приклад: числа 14 і 25 є взаємно простими, оскільки НСД(14; 25) = 1.

✈️ Зверніть увагу: знаходження НСД часто використовується в реальних задачах — від скорочення дробів до оптимального планування ресурсів.

❓ А ви знали, що існує алгоритм, який називається алгоритмом Евкліда, що дозволяє знаходити НСД навіть для дуже великих чисел без виписування всіх дільників чи розписування простих множників?

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

💡 Найменше спільне кратне

Сьогодні ми завершуємо тему, присвячену подільності натуральних чисел. Сьогодні поговоримо про поняття, яке часто зустрічається не лише в математиці, а й у повсякденному житті — найменше спільне кратне (НСК).

🔍 Найменше спільне кратне (НСК) — це найменше натуральне число, яке ділиться націло на обидва (або кілька) заданих чисел.

✈️ Приклад. Знайдіть найменше спільне кратне чисел 12 і 18.

🔍 Спосіб 1 (через кратні)
K(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, …}
K(18) = {18, 36, 54, 72, …}
спільні кратні: {36, 72, …}
👉 найменше з них: 36.

🔍 Спосіб 2 (через розкладання на прості множники)
12 = 2 · 2 · 3
18 = 2 · 3 · 3
Знайдемо спільні множники для чисел 12 і 18 та запишемо їх добуток, а також доповнимо цей добуток іншими множниками, що залишилися, — це і є найменше спільне кратне чисел 12 і 18:
👉 НСК(12; 18) = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 36.

Відповідь: 36. 🔺

✈️ Зверніть увагу: якщо числа взаємно прості, то їхнє найменше спільне кратне дорівнює просто їхньому добутку.

✈️ Приклад. Числа 7 і 10 — взаємно прості.
👉 НСК(7; 10) = 7 · 10 = 70.

❓ А чи знаєте ви, що в задачах на час або розклад досить часто може фігурувати НСК? Наприклад, коли потрібно дізнатися, через скільки хвилин одночасно задзвонять два дзвінки, що працюють з різними інтервалами.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog