⚡️ ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Сьогодні ми поглибимося у практичне застосування визначеного інтеграла, навчившись обчислювати площі різних фігур, обмежених графіками функцій. Це один із найважливіших інструментів у математиці!

🔍 Криволінійна трапеція та її площа

✈️ Криволінійна трапеція — це фігура, обмежена графіком неперервної функції 𝑦 = 𝑓(𝑥) на відрізку [𝑎; 𝑏], віссю 𝑂𝑥 та прямими 𝑥 = 𝑎 і 𝑥 = 𝑏 (див. скриншот). Площа 𝑆 криволінійної трапеції, обмеженої графіком невід'ємної неперервної функції, обчислюється за формулою:

𝑆 = ∫ₐᵇ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.

✈️ Приклад. Знайдемо площу фігури, обмеженої графіком функції 𝑦 = 𝑥², віссю 𝑂𝑥 та прямими 𝑥 = 0, 𝑥 = 2. Маємо:
𝑆 = ∫₀² 𝑥² 𝑑𝑥 = 𝑥³/3 |₀² = 2³/3 – 0³/3 = 8/3.

✈️ Криволінійна трапеція під віссю 𝑂𝑥. Якщо функція 𝑓(𝑥) є неперервною та недодатною на відрізку [𝑎; 𝑏] (тобто графік функції лежить під віссю 𝑂𝑥), то площа фігури, обмеженої графіком 𝑦 = 𝑓(𝑥), віссю 𝑂𝑥 та прямими 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, обчислюється за формулою:

𝑆 = – ∫ₐᵇ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 або 𝑆 = ∫ₐᵇ |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥.

✈️ Приклад. Знайдемо площу фігури, обмеженої графіком 𝑦 = –𝑥, віссю 𝑂𝑥 та прямими 𝑥 = 0, 𝑥 = 1. Функція 𝑦 = –𝑥 на [0; 1] є недодатною. Маємо:
𝑆 = – ∫₀¹ (–𝑥) 𝑑𝑥 = ∫₀¹ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥²/2 |₀¹ = 1²/2 – 0²/2 = 1/2.

🔍 Застосування геометрії (за відомими фігурами). Визначений інтеграл може бути використаний для обчислення площ відомих геометричних фігур, що підтверджує його універсальність.
🔍 Приклад 1 (лінійна функція). Знайдемо площу трикутника, обмеженого графіком 𝑦 = 𝑥, віссю 𝑂𝑥 та прямою 𝑥 = 2. Це прямокутний трикутник з катетами 2 і 2, площа якого (1/2) ⋅ 2 ⋅ 2 = 2.
Обчислимо інтегралом: 𝑆 = ∫₀² 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥²/2 |₀² = 2²/2 – 0²/2 = 4/2 = 2. Результати збігаються!
🔍 Приклад 2 (коло – півколо). Знайдемо площу півкола, обмеженого графіком 𝑦 = √(1 – 𝑥²) та віссю 𝑂𝑥 (для 𝑥 від –1 до 1). Площа півкола радіуса 𝑟 = 1 дорівнює (1/2)𝜋𝑟² = 0,5𝜋.
Обчислення інтегралом ∫₋₁¹ √(1 – 𝑥²) 𝑑𝑥 призведе до цього ж значення. Це більш складний інтеграл, але ідея та ж.

🔍 Площа фігури, обмеженої графіками двох функцій. Якщо фігура обмежена графіками двох функцій 𝑦 = 𝑓(𝑥) та 𝑦 = 𝑔(𝑥) на відрізку [𝑎; 𝑏], причому 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) на цьому відрізку, то її площа 𝑆 обчислюється за формулою:

𝑆 = ∫ₐᵇ (𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥.

Для застосування цієї формули необхідно спочатку знайти точки перетину графіків (це будуть 𝑎 і 𝑏) та визначити, яка функція «вище» на цьому інтервалі.
✈️ Приклад. Знайдемо площу фігури, обмеженої параболами 𝑦 = 𝑥² та 𝑦 = 2𝑥 – 𝑥².
1. Знайдемо точки перетину: 𝑥² = 2𝑥 – 𝑥² → 2𝑥² – 2𝑥 = 0 → 2𝑥(𝑥 – 1) = 0 → 𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1. Це межі інтегрування 𝑎 = 0, 𝑏 = 1.
2. Визначимо, яка функція вище. Візьмемо 𝑥 = 0,5: 𝑦₁(0,5) = (0,5)² = 0,25; 𝑦₂(0,5) = 2(0,5) – (0,5)² = 1 – 0,25 = 0,75.
Отже, 𝑦 = 2𝑥 – 𝑥² «вище».
3. Обчислимо інтеграл:
𝑆 = ∫₀¹ ((2𝑥 – 𝑥²) – 𝑥²) 𝑑𝑥 = ∫₀¹ (2𝑥 – 2𝑥²) 𝑑𝑥 = (𝑥² – 2𝑥³/3)|₀¹ = (1² – 2(1)³/3) – (0² – 2(0)³/3) = 1 – 2/3 = 1/3.

🔥 На скриншотах ви знайдете візуальні ілюстрації цих застосувань визначеного інтеграла.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog