⚡️ ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Сьогодні ми поглибимо наші знання про інтегрування і познайомимося з визначеним інтегралом – потужним інструментом для обчислення площ фігур, об'ємів тіл та багатьох інших задач!

❓ Що таке визначений інтеграл? Це число, яке характеризує площу фігури, обмеженої графіком функції 𝑓(𝑥), віссю 𝑂𝑥 та вертикальними прямими 𝑥 = 𝑎 і 𝑥 = 𝑏.
Позначення: ∫ₐᵇ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

🔍 Формула Ньютона-Лейбніца. Для обчислення визначеного інтеграла від функції 𝑓(𝑥) на відрізку [𝑎; 𝑏] використовується формула Ньютона-Лейбніца:

∫ₐᵇ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|ₐᵇ = 𝐹(𝑏) – 𝐹(𝑎),

де 𝐹(𝑥) – будь-яка первісна для функції 𝑓(𝑥).
🔍 Приклад 1. ∫₁³ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥²/2 |₁³ = 3²/2 – 1²/2 = 9/2 – 1/2 = 8/2 = 4.
🔍 Приклад 2. ∫₀^{𝜋/2} cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 |₀^{𝜋/2} = sin(𝜋/2) – sin(0) = 1 – 0 = 1.
🔍 Приклад 3. ∫₁ᵉ (𝑥² + 1)/𝑥 𝑑𝑥 = ∫₁ᵉ(𝑥²/𝑥 + 1/𝑥) = ∫₁ᵉ(𝑥 + 1/𝑥) = (𝑥²/2 + ln |𝑥|)|₁ᵉ = 𝑒²/2 + ln |𝑒| – (1²/2 + ln |1|) = 𝑒²/2 + 1 – (1/2 + 0) = (𝑒² + 1)/2.

✈️ Властивості визначеного інтеграла. Ці властивості спрощують обчислення інтегралів.

1️⃣ Інтеграл суми (різниці) функцій:

∫ₐᵇ (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ₐᵇ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ₐᵇ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥.

✈️ Приклад: ∫₀¹ (𝑥 + sin 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫₀¹ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫₀¹ sin 𝑥 𝑑𝑥.

2️⃣ Винесення числового множника за знак інтеграла:

∫ₐᵇ 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ₐᵇ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥,

де 𝑘 – будь-яке ненульове число.
✈️ Приклад: ∫₁² 5𝑥³ 𝑑𝑥 = 5 ∫₁² 𝑥³ 𝑑𝑥.

3️⃣ Розділення інтеграла за новою границею. Якщо 𝑎 < 𝑠 < 𝑏, то

∫ₐᵇ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ₐˢ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ₛᵇ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.

Ця властивість дозволяє розбивати інтеграл на кілька частин, що корисно при роботі з кусково-заданими функціями.
✈️ Приклад: ∫₋₁² |𝑥| 𝑑𝑥 = ∫₋₁⁰ (–𝑥) 𝑑𝑥 + ∫₀² 𝑥 𝑑𝑥.

🔥 На скриншотах ви знайдете ілюстрації обчислення визначених інтегралів та їх властивостей.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog