⚡️ ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ

Сьогодні ми перейдемо до оберненої операції до диференціювання – інтегрування, і познайомимося з поняттям «первісна функції».

❓ Що ж таке первісна? Первісною функцією для функції 𝑓(𝑥) на деякому проміжку називається така функція 𝐹(𝑥), похідна якої дорівнює 𝑓(𝑥) для всіх 𝑥 з цього проміжку. Тобто, якщо 𝐹'(𝑥) = 𝑓(𝑥), то 𝐹(𝑥) є первісною для 𝑓(𝑥).

✈️ Приклади:
1️⃣ для функції 𝑓(𝑥) = 2𝑥, первісною є 𝐹(𝑥) = 𝑥², оскільки (𝑥²)' = 2𝑥.
2️⃣ для функції 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, первісною є 𝐹(𝑥) = sin 𝑥, оскільки (sin 𝑥)' = cos 𝑥.

Зверніть увагу! Якщо 𝐹(𝑥) є первісною для 𝑓(𝑥), то 𝐹(𝑥) + 𝐶 (де 𝐶 – довільна стала) також є первісною для 𝑓(𝑥), оскільки (𝐹(𝑥) + 𝐶)' = 𝐹'(𝑥) + (𝐶)' = 𝑓(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥). Саме тому загальний вигляд первісних завжди містить доданок 𝐶.

✈️ Основні формули для знаходження первісної. Знайдемо первісні для найбільш поширених функцій.

1️⃣ Для функції 𝑓(𝑥) = 0, первісною є 𝐹(𝑥) = 𝐶.

2️⃣ Для функції 𝑓(𝑥) = 1, первісною є 𝐹(𝑥) = 𝑥 + 𝐶.

3️⃣ Для функції 𝑓(𝑥) = 𝑥ᵃ, де 𝑎 ≠ –1, первісною є 𝐹(𝑥) = 𝑥ᵃ⁺¹/(𝑎 + 1) + 𝐶.
✈️ Приклад 1. Для 𝑓(𝑥) = 𝑥³, первісною є 𝐹(𝑥) = 𝑥³⁺¹/(3 + 1) + 𝐶 = 𝑥⁴/4 + 𝐶.
✈️ Приклад 2. Для 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥¹ᐟ², первісною є 𝐹(𝑥) = 𝑥¹ᐟ²⁺¹/(1/2 + 1) + 𝐶 = 𝑥³ᐟ²/(3/2) + 𝐶 = (2/3)𝑥√𝑥 + 𝐶.

4️⃣ Для функції 𝑓(𝑥) = 1/𝑥, первісною є 𝐹(𝑥) = ln |𝑥| + 𝐶.

5️⃣ Для функції 𝑓(𝑥) = 𝑒ˣ, первісною є 𝐹(𝑥) = 𝑒ˣ + 𝐶.

6️⃣ Для функції 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, первісною є 𝐹(𝑥) = –cos 𝑥 + 𝐶.

7️⃣ Для функції 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, первісною є 𝐹(𝑥) = sin 𝑥 + 𝐶.

8️⃣ Для функції 𝑓(𝑥) = 1/cos²𝑥, первісною є 𝐹(𝑥) = tg 𝑥 + 𝐶.

🔍 Правила знаходження первісної. Ці правила дозволяють знаходити первісні для складніших функцій.

1️⃣ Первісна суми (різниці) функцій. Якщо 𝐹(𝑥) і 𝐺(𝑥) є первісними для 𝑓(𝑥) і 𝑔(𝑥) відповідно, то 𝐹(𝑥) ± 𝐺(𝑥) є первісною для 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥). Тобто, якщо 𝐹'(𝑥) = 𝑓(𝑥) і 𝐺'(𝑥) = 𝑔(𝑥), то (𝐹(𝑥) ± 𝐺(𝑥))' = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥).
✈️ Приклад. Для 𝑓(𝑥) = 𝑥 + cos 𝑥, первісною є 𝐹(𝑥) = 𝑥²/2 + sin 𝑥 + 𝐶.

2️⃣ Первісна добутку числа і функції. Якщо 𝐹(𝑥) є первісною для 𝑓(𝑥), а 𝑘 – довільна стала, то 𝑘𝐹(𝑥) є первісною для 𝑘𝑓(𝑥). Тобто, якщо 𝐹'(𝑥) = 𝑓(𝑥), то (𝑘𝐹(𝑥))' = 𝑘𝑓(𝑥).
✈️ Приклад. Для 𝑓(𝑥) = 5𝑒ˣ, первісною є 𝐹(𝑥) = 5𝑒ˣ + 𝐶.

🔥 На скриншотах ви знайдете зведення основних формул та правил для знаходження первісних.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog