⚡️ ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ

Сьогодні ми побачимо, як похідна допомагає досліджувати поведінку функцій: визначати інтервали зростання та спадання, знаходити точки екстремуму та їх значення, а також визначати найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку.

✈️ Ознаки зростання і спадання функції

1️⃣ Якщо для всіх 𝑥 з деякого інтервалу виконується 𝑓'(𝑥) > 0, то функція 𝑓(𝑥) зростає на цьому інтервалі.
✈️ Приклад. Розглянемо функцію 𝑓(𝑥) = 𝑥². Її похідна 𝑓'(𝑥) = 2𝑥. На інтервалі (0; +∞) похідна 2𝑥 > 0, отже, функція 𝑓(𝑥) = 𝑥² зростає на цьому інтервалі.

2️⃣ Якщо для всіх 𝑥 з деякого інтервалу виконується 𝑓'(𝑥) < 0, то функція 𝑓(𝑥) спадає на цьому інтервалі.
✈️ Приклад. Для функції 𝑓(𝑥) = 𝑥² на інтервалі (–∞; 0) похідна 2𝑥 < 0, отже, функція 𝑓(𝑥) = 𝑥² спадає на цьому інтервалі.

🔍 Критичні точки функції — точки, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

✈️ Приклад. Для функції 𝑓(𝑥) = 𝑥³ – 3𝑥 похідна 𝑓'(𝑥) = 3𝑥² – 3. Прирівняємо похідну до нуля: 3𝑥² – 3 = 0 → 𝑥² = 1 → 𝑥 = ±1. Отже, 𝑥 = 1 та 𝑥 = –1 є критичними точками.

✈️ Точки екстремуму й екстремуми функції

1️⃣ Точка максимуму. Якщо при переході через критичну точку 𝑥₀ похідна змінює знак з «+» на «–», то 𝑥₀ є точкою максимуму. Значення функції в цій точці 𝑓(𝑥₀) називається максимумом функції.
2️⃣ Точка мінімуму. Якщо при переході через критичну точку 𝑥₀ похідна змінює знак з «–» на «+», то 𝑥₀ є точкою мінімуму. Значення функції в цій точці 𝑓(𝑥₀) називається мінімумом функції.
✈️ Приклад. Для функції 𝑓(𝑥) = 𝑥³ – 3𝑥 маємо критичні точки 𝑥 = –1 та 𝑥 = 1. Дослідимо знак похідної 𝑓'(𝑥) = 3𝑥² – 3 на інтервалах:
🔍 (–∞; –1): візьмемо 𝑥 = –2, 𝑓'(–2) = 3 ⋅ (–2)² – 3 = 9 > 0 (функція зростає).
🔍 (–1; 1): візьмемо 𝑥 = 0, 𝑓'(0) = 3 ⋅ 0² – 3 = –3 < 0 (функція спадає).
🔍 (1; +∞): візьмемо 𝑥 = 2, 𝑓'(2) = 3 ⋅ 2² – 3 = 9 > 0 (функція зростає).
Отже, 𝑥 = –1 є точкою максимуму, а 𝑥 = 1 є точкою мінімуму.
Максимум функції: 𝑓(–1) = (–1)³ – 3(–1) = 2. Мінімум функції: 𝑓(1) = 1³ – 3 ⋅ 1 = –2.

Зверніть увагу! Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму. Максимуми і мінімуми функції називають екстремумами функції.

✈️ Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної функції на відрізку [𝑎; 𝑏], потрібно:
1️⃣ знайти значення функції в усіх критичних точках, що належать цьому відрізку;
2️⃣ знайти значення функції на кінцях відрізка, тобто в точках 𝑎 і 𝑏;
3️⃣ обрати серед знайдених значень найбільше та найменше.

✈️ Приклад. Знайдемо найбільше і найменше значення функції 𝑓(𝑥) = 𝑥² – 2𝑥 + 3 на відрізку [0; 3].
1. Знайдемо похідну: 𝑓'(𝑥) = 2𝑥 – 2. Критична точка: 2𝑥 – 2 = 0 → 𝑥 = 1. Ця точка належить відрізку [0; 3]. 𝑓(1) = 1² – 2(1) + 3 = 2.
2. Знайдемо значення функції на кінцях відрізка: 𝑓(0) = 0² – 2(0) + 3 = 3; 𝑓(3) = 3² – 2(3) + 3 = 6.
3. Порівнюємо знайдені значення: 2, 3, 6.
4. Найменше значення дорівнює 2, а найбільше — 6.

🔥 На скриншотах ви знайдете ілюстрації застосування похідної для аналізу функцій.

💬 Задавайте свої запитання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog