⚡️ ФІЗИЧНИЙ ТА ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

Продовжуємо розглядати похідну функції. Сьогодні ми розкриємо глибинний зміст похідної, побачивши її застосування не лише в алгебрі, а й у фізиці та геометрії.

❓ Який прихований сенс має похідна?

✈️ Фізичний (механічний) зміст похідної. Похідна має прямий зв'язок з описом руху тіла.

1️⃣ Миттєва швидкість. Якщо відомий закон руху тіла як функція часу 𝑠(𝑡), то миттєва швидкість 𝑣(𝑡) в будь-який момент часу 𝑡 є похідною від шляху за часом:

𝑣(𝑡) = 𝑠'(𝑡).

✈️ Приклад. Нехай шлях, пройдений тілом, задається формулою 𝑠(𝑡) = 𝑡². Тоді миттєва швидкість тіла в момент часу 𝑡 задається формулою: 𝑣(𝑡) = 𝑠'(𝑡) = (𝑡²)' = 2𝑡. Наприклад, в момент часу 𝑡 = 3 с швидкість дорівнює 𝑣(3) = 2 ⋅ 3 = 6 м/с.

2️⃣ Прискорення. Миттєве прискорення 𝑎(𝑡) є похідною від миттєвої швидкості за часом:

𝑎(𝑡) = 𝑣'(𝑡).

Або, що те саме, прискорення є другою похідною від шляху за часом:

𝑎(𝑡) = 𝑠''(𝑡).

✈️ Приклад. Використовуючи попередній приклад, де 𝑣(𝑡) = 2𝑡, знайдемо прискорення: 𝑎(𝑡) = 𝑣'(𝑡) = (2𝑡)' = 2 м/с². Це означає, що тіло рухається з постійним прискоренням.

✈️ Геометричний зміст похідної. Похідна також має важливе геометричне тлумачення.

1️⃣ Кутовий коефіцієнт дотичної. Значення похідної функції 𝑓(𝑥) в певній точці 𝑥₀, тобто 𝑓'(𝑥₀), дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної прямої до графіка функції 𝑦 = 𝑓(𝑥) у точці з абсцисою 𝑥₀. Кутовий коефіцієнт прямої 𝑘 пов'язаний з кутом нахилу 𝛼 цієї прямої до додатного напрямку осі Ох співвідношенням:

𝑓'(𝑥₀) = 𝑘 = tg(𝛼).

✈️ Приклад 1. Розглянемо функцію 𝑓(𝑥) = 𝑥²/2. Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної до графіка цієї функції в точці 𝑥₀ = 1.
1. Спочатку знайдемо похідну: 𝑓'(𝑥) = (𝑥²/2)' = 𝑥.
2. Обчислимо значення похідної в точці 𝑥₀ = 1: 𝑓'(1) = 1.
Отже, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює 𝑘 = 1.

✈️ Приклад 2. Знайдемо кут нахилу дотичної в попередньому прикладі. Оскільки 𝑘 = tg(𝛼) = 1, то 𝛼 = 45°.

2️⃣ Рівняння дотичної до графіка функції. Якщо до графіка функції 𝑦 = 𝑓(𝑥) у точці з абсцисою 𝑥₀ проведено дотичну виду 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, то її рівняння задається формулою:

𝑦 = 𝑓'(𝑥₀)(𝑥 – 𝑥₀) + 𝑓(𝑥₀).

✈️ Приклад. Розглянемо функцію 𝑓(𝑥) = √𝑥. Знайдемо рівняння дотичної до цієї функції в точці 𝑥₀ = 4.
1. Спочатку знайдемо похідну: 𝑓'(𝑥) = (√𝑥)' = 1/(2√𝑥).
2. Обчислимо значення похідної в точці 𝑥₀ = 4: 𝑓'(4) = 1/(2√4) = 1/4 = 0,25.
3. Знайдемо значення функції в точці 𝑥₀ = 4: 𝑓(4) = √4 = 2.
4. Визначимо рівняння дотичної до цієї функції в точці 𝑥₀ = 4 за формулою 𝑦 = 𝑓'(𝑥₀)(𝑥 – 𝑥₀) + 𝑓(𝑥₀). Маємо: 𝑦 = 𝑓'(4)(𝑥 – 4) + 𝑓(4) = 0,25(𝑥 – 4) + 2 = 0,25𝑥 – 1 + 2 = 0,25𝑥 + 1.
Отже, рівняння дотичної має вигляд: 𝑦 = 0,25𝑥 + 1.

🔥 На скриншотах ви знайдете ілюстрації фізичного та геометричного змісту похідної.

💬 Чи стали для вас похідна та її застосування більш зрозумілими? Залишайте свої запитання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog