⚡️ ЗНАХОДЖЕННЯ ПОХІДНОЇ

Сьогодні ми розпочинаємо нашу подорож у світ диференціального числення і познайомимося з важливим поняттям — похідною функції. Це відкриє нам очі на миттєву швидкість змін та дотичні до кривих!

❓ Що ж таке похідна? Уявіть собі графік довільної функції. Похідна в певній точці показує крутість дотичної прямої до цього графіка саме в цій точці. Чим більша значення похідної, тим вертикальніше дотична, а отже, тим швидше змінюється значення функції в околиці цієї точки.

✈️ Основні формули похідних з прикладами:

Знаходження похідної функції називають диференціюванням. Розглянемо найважливіші формули, які стануть нашими першими інструментами.

1️⃣ Похідна сталої функції:

(𝐶)' = 0,

де 𝐶 — будь-яке число.
✈️ Приклад: (5)' = 0, (√7)' = 0, (𝜋)' = 0, (sin 2)' = 0, (ln 3)' = 0. Стала ніколи не змінюється, тому її «швидкість зміни» дорівнює нулю.

2️⃣ Похідна степеневої функції:

(𝑥ᵃ)' = 𝑎𝑥ᵃ⁻¹,

де 𝑎 — будь-яке дійсне число.
✈️ Приклад 1: (𝑥³)' = 3𝑥³⁻¹ = 3𝑥².
✈️ Приклад 2: (1/𝑥²)' = (𝑥⁻²)' = –2𝑥⁻²⁻¹ = –2𝑥⁻³ = –2/𝑥³.
✈️ Приклад 3: (√𝑥)' = (𝑥¹ᐟ²)' = (1/2)𝑥¹ᐟ²⁻¹ = (1/2)𝑥⁻¹ᐟ² = 1/(2√𝑥).

3️⃣ Похідна лінійної функції:

(𝑥)' = 1

✈️ Графік функції 𝑦 = 𝑥 — пряма з кутовим коефіцієнтом 𝑘 = 1, що відповідає її похідній.

4️⃣ Похідна показникової функції (експоненти):

(𝑒ˣ)' = 𝑒ˣ.

✈️ Пригадайте, що 𝑒 = 2,718... — стала Ейлера. Більш детально її вивчають у курсі вищої математики.

5️⃣ Похідна логарифмічної функції (натурального логарифма):

(ln 𝑥)' = 1/𝑥.

✈️ Пригадайте: ln 𝑥 = logₑ 𝑥 — натуральний логарифм.

6️⃣ Похідна синуса:

(sin 𝑥)' = cos 𝑥.

7️⃣ Похідна косинуса:

(cos 𝑥)' = –sin 𝑥.

8️⃣ Похідна тангенса:

(tg 𝑥)' = 1/cos²𝑥.

✈️ Правила диференціювання. Розглянемо основні правила, що допомагають знаходити похідні складних функцій, які є комбінаціями простіших.

1️⃣ Похідна суми (різниці):

(𝑢 ± 𝑣)' = 𝑢' ± 𝑣'.

✈️ Приклад: (𝑥² + sin 𝑥)' = (𝑥²)' + (sin 𝑥)' = 2𝑥 + cos 𝑥.
✈️ Приклад: (𝑒ˣ – ln 𝑥)' = (𝑒ˣ)' – (ln 𝑥)' = 𝑒ˣ – 1/𝑥.

2️⃣ Похідна добутку:

(𝑢𝑣)' = 𝑢'𝑣 + 𝑢𝑣'.

✈️ Приклад: (𝑥³ ⋅ cos 𝑥)' = (𝑥³)' ⋅ cos 𝑥 + 𝑥³ ⋅ (cos 𝑥)' = 3𝑥² cos 𝑥 + 𝑥³ (–sin 𝑥) = 3𝑥² cos 𝑥 – 𝑥³ sin 𝑥.

3️⃣ Похідна функції, помноженої на сталу:

(𝐶𝑢)' = 𝐶𝑢'.

✈️ Приклад: (7𝑥⁴)' = 7 ⋅ (𝑥⁴)' = 7 ⋅ 4𝑥³ = 28𝑥³.
✈️ Приклад: (–3 sin 𝑥)' = –3 ⋅ (sin 𝑥)' = –3 cos 𝑥.

4️⃣ Похідна частки:

(𝑢/𝑣)' = (𝑢'𝑣 – 𝑢𝑣') / 𝑣²,

де 𝑣 ≠ 0.
✈️ Приклад: (sin 𝑥 / 𝑥²)' = ((sin 𝑥)' ⋅ 𝑥² – sin 𝑥 ⋅ (𝑥²)') / (𝑥²)² = (cos 𝑥 ⋅ 𝑥² – sin 𝑥 ⋅ 2𝑥) / 𝑥⁴ = (𝑥 cos 𝑥 – 2 sin 𝑥) / 𝑥³.

🔥 На скриншотах ви знайдете зведення основних формул та правил для вашої зручності.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog