🔥 ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ

Сьогодні ми продовжимо досліджувати логарифми і розглянемо, як розв'язувати логарифмічні нерівності. Навчимося долати цей цікавий математичний бар'єр!

🔍 Логарифмічна нерівність — нерівність, що містить змінну під знаком логарифма або в основі логарифма.
✈️ Приклади: log₂ 𝑥 > 3, log₃ (𝑥 + 1) ≤ log₃ (2𝑥 – 5), logₓ 4 < 2.

✈️ Найпростіші логарифмічні нерівності

1️⃣ Якщо маємо нерівність виду logₐ 𝑓(𝑥) > 𝑏 (або <, ≥, ≤), де 𝑎 > 1, то 𝑓(𝑥) > 𝑎ᵇ (відповідно <, ≥, ≤).

Не забувайте про ОДЗ: 𝑓(𝑥) > 0.

✈️ Приклад: log₃ 𝑥 < 2 → 𝑥 < 3² → 𝑥 < 9.
Ураховуючи ОДЗ, розв'язок: 𝑥 ∈ (0; 9).

2️⃣ Якщо маємо нерівність виду logₐ 𝑓(𝑥) > 𝑏 (або <, ≥, ≤), де 0 < 𝑎 < 1, то 𝑓(𝑥) < 𝑎ᵇ (відповідно >, ≤, ≥).

Зверніть увагу на зміну знака нерівності!
Також не забувайте про ОДЗ: 𝑓(𝑥) > 0.

✈️ Приклад: log₁/₂ 𝑥 ≤ –1 → 𝑥 ≥ (1/2)⁻¹ → 𝑥 ≥ 2.
Ураховуючи ОДЗ, розв'язок: 𝑥 ∈ [2; +∞).

3️⃣ Якщо маємо нерівність виду logₐ 𝑓(𝑥) > logₐ 𝑔(𝑥) (або <, ≥, ≤), де 𝑎 > 1, то 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) (відповідно <, ≥, ≤).

Обов'язково враховуйте ОДЗ: 𝑓(𝑥) > 0 і 𝑔(𝑥) > 0.

✈️ Приклад: log₂ (𝑥 + 1) < log₂ (2𝑥 – 3) → 𝑥 + 1 < 2𝑥 – 3 → 𝑥 > 4.
Перевірка ОДЗ: 𝑥 + 1 > 0 → 𝑥 > –1; 2𝑥 – 3 > 0 → 𝑥 > 1,5.
Перетин усіх умов: 𝑥 > 4. Розв'язок: 𝑥 ∈ (4; +∞).

4️⃣ Якщо маємо нерівність виду logₐ 𝑓(𝑥) > logₐ 𝑔(𝑥) (або <, ≥, ≤), де 0 < 𝑎 < 1, то 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) (відповідно >, ≤, ≥). Знову ж таки, не забувайте про ОДЗ: 𝑓(𝑥) > 0 і 𝑔(𝑥) > 0.
✈️ Приклад: log₁/₃ (𝑥 + 2) ≥ log₁/₃ (5 – 𝑥) → 𝑥 + 2 ≤ 5 – 𝑥 → 2𝑥 ≤ 3 → 𝑥 ≤ 1,5.
Перевірка ОДЗ: 1) 𝑥 + 2 > 0 → 𝑥 > –2; 2) 5 – 𝑥 > 0 → 𝑥 < 5.
Перетин усіх умов: –2 < 𝑥 ≤ 1,5. Розв'язок: 𝑥 ∈ (–2; 1,5].

✈️ Нерівності, що розв'язуються застосуванням властивостей логарифмів

Аналогічно до рівнянь, використовуйте властивості логарифмів, щоб звести нерівність до простішого вигляду. Пам'ятайте про ОДЗ початкового рівняння.
✈️ Приклад: log₄ 𝑥 + log₄ (𝑥 – 6) > 2 → log₄ (𝑥(𝑥 – 6)) > 2 → 𝑥(𝑥 – 6) > 4² → 𝑥² – 6𝑥 – 16 > 0 → (𝑥 – 8)(𝑥 + 2) > 0. Розв'язуючи цю квадратну нерівність, отримуємо 𝑥 < –2 або 𝑥 > 8.
Ураховуючи ОДЗ: 𝑥 > 0 і 𝑥 – 6 > 0 → 𝑥 > 6. Перетин усіх умов: 𝑥 > 8. Розв'язок: 𝑥 ∈ (8; +∞).

✈️ Нерівності, що розв'язуються методом заміни змінної

Якщо в нерівності багаторазово зустрічається один і той самий логарифмічний вираз, заміна змінної може спростити задачу. Не забудьте після знаходження розв'язків відносно нової змінної повернутися до початкової та врахувати ОДЗ.
✈️ Приклад: (log₃ 𝑥)² – 2 log₃ 𝑥 – 3 ≤ 0 → заміна: log₃ 𝑥 = 𝑡 → 𝑡² – 2𝑡 – 3 ≤ 0 → (𝑡 – 3)(𝑡 + 1) ≤ 0 → –1 ≤ 𝑡 ≤ 3. Обернена заміна: –1 ≤ log₃ 𝑥 ≤ 3 → 3⁻¹ ≤ 𝑥 ≤ 3³ → 1/3 ≤ 𝑥 ≤ 27.
Ураховуючи ОДЗ (𝑥 > 0), отримуємо розв'язок: 𝑥 ∈ [1/3; 27].

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog