⚡️ ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ

Сьогодні ми продовжимо розглядати логарифми і зосередимося на розв'язанні логарифмічних рівнянь. Розглянемо основні типи та методи їх розв'язання.

🔍 Логарифмічне рівняння — рівняння, що містить змінну під знаком логарифма або в основі логарифма.
✈️ Приклади: log₂ 𝑥 = 3, logₓ 9 = 2, log₃ (𝑥 + 1) = log₃ (2𝑥 – 5).

✈️ Найпростіші логарифмічні рівняння

1️⃣ Якщо маємо рівняння виду logₐ 𝑥 = 𝑏, де 𝑎 > 0 і 𝑎 ≠ 1, то 𝑥 = 𝑎ᵇ.
✈️ Приклад: log₃ 𝑥 = 2 → 𝑥 = 3² → 𝑥 = 9.

2️⃣ Якщо маємо рівняння виду logₐ 𝑓(𝑥) = logₐ 𝑔(𝑥), де 𝑎 > 0 і 𝑎 ≠ 1, то 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

✈️ Важливо не забувати про область допустимих значень (ОДЗ): 𝑓(𝑥) > 0 і 𝑔(𝑥) > 0.

✈️ Приклад: log₅ (𝑥 + 2) = log₅ (3𝑥 – 4) → 𝑥 + 2 = 3𝑥 – 4 → 2𝑥 = 6 → 𝑥 = 3.
Перевірка ОДЗ: 𝑥 + 2 = 3 + 2 = 5 > 0; 3𝑥 – 4 = 3 ⋅ 3 – 4 = 5 > 0.
Отже, 𝑥 = 3 є коренем.

✈️ Рівняння, що розв'язуються застосуванням властивостей логарифмів

1️⃣ Якщо рівняння містить кілька логарифмів з однаковою основою, спробуйте звести їх до одного логарифма, використовуючи властивості суми, різниці, степеня логарифмів.
✈️ Приклад: log₂ 𝑥 + log₂ (𝑥 – 2) = 3 → log₂ (𝑥(𝑥 – 2)) = 3 → 𝑥(𝑥 – 2) = 2³ → 𝑥² – 2𝑥 – 8 = 0 → 𝑥₁ = 4, 𝑥₂ = –2.
Перевірка ОДЗ:
1) для 𝑥₁ = 4: 𝑥 > 0 (4 > 0), 𝑥 – 2 > 0 (4 – 2 = 2 > 0) – підходить;
2) для 𝑥₂ = –2: 𝑥 > 0 (–2 > 0 – неправильно) – не підходить.
Отже, єдиний корінь 𝑥 = 4.

2️⃣ Іноді доцільно перетворити рівняння так, щоб в одній частині був логарифм, а в іншій – число, а потім скористатися означенням логарифма.
✈️ Приклад: 2 log₃ 𝑥 = log₃ 16 → log₃ 𝑥² = log₃ 16 → 𝑥² = 16 → 𝑥₁ = 4, 𝑥₂ = –4. Перевірка ОДЗ: 𝑥 > 0.
Отже, єдиний корінь 𝑥 = 4.

✈️ Рівняння, що розв'язуються методом заміни змінної

Якщо в рівнянні кілька разів зустрічається один і той самий логарифмічний вираз, зручно ввести нову змінну.
✈️ Приклад: (log₂ 𝑥)² – 3 log₂ 𝑥 + 2 = 0 → заміна: log₂ 𝑥 = 𝑡 → 𝑡² – 3𝑡 + 2 = 0 → 𝑡₁ = 1, 𝑡₂ = 2. Обернена заміна:
❶ log₂ 𝑥 = 1 → 𝑥 = 2¹ → 𝑥 = 2.
➋ log₂ 𝑥 = 2 → 𝑥 = 2² → 𝑥 = 4.
Отже, корені рівняння 𝑥 = 2 та 𝑥 = 4.

🔥 Більше прикладів розв'язання складних логарифмічних рівнянь шукайте на скриншотах.

💬 Які методи розв'язання логарифмічних рівнянь здаються вам найскладнішими? Пишіть у коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog