⚡️ ЛОГАРИФМИ

Сьогодні ми розглянемо нову важливу тему — логарифми. Це поняття пов’язане з оберненою операцією до піднесення до степеня.

🔍 Логарифм числа 𝑏 > 0 за основою 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) — це показник степеня, до якого потрібно піднести 𝑎, щоб отримати 𝑏.

𝑎ˣ = 𝑏 ⟷ 𝑥 = logₐ 𝑏

✈️ Приклад: 2ˣ = 8 → 𝑥 = log₂8, бо 2³ = 8.


✈️ Види логарифмів

🔍 Звичайний логарифм (logₐ 𝑏) — логарифм з будь-якою додатною основою, не рівною 1.
✈️ Приклад: log₃81 = 4, бо 3⁴ = 81.

🔍 Десятковий логарифм (log₁₀ 𝑏) — логарифм з основою 10.
✈️ Позначення: lg 𝑏.
✈️ Приклад: lg 1000 = 3, бо 10³ = 1000.

🔍 Натуральний логарифм (logₑ 𝑏) — логарифм з основою 𝑒 ≈ 2,718 — число Ейлера (або число Непера).
✈️ Позначення: ln 𝑏.
✈️ Приклад: ln 𝑒⁵ = 5.


✈️ Основні властивості логарифмів

1️⃣ Основна логарифмічна тотожність:

𝑎ˡᵒᵍₐᵇ = 𝑏

✈️ Приклад: 3ˡᵒᵍ₃⁷ = 7.

2️⃣ Логарифм одиниці:

logₐ1 = 0, бо 𝑎⁰ = 1

✈️ Приклад: log₇1 = 0

3️⃣ Логарифм основи:

logₐ𝑎 = 1, бо 𝑎¹ = 𝑎

✈️ Приклад: log₄4 = 1

4️⃣ Логарифм добутку:

logₐ(𝑥𝑦) = logₐ𝑥 + logₐ𝑦

✈️ Приклад: log₅(25⋅5) = log₅25 + log₅5 = 2 + 1 = 3

5️⃣ Логарифм частки:

logₐ(𝑥/𝑦) = logₐ𝑥 – logₐ𝑦

✈️ Приклад: log₂(16/2) = log₂16 – log₂2 = 4 – 1 = 3

6️⃣ Логарифм степеня:

logₐ(𝑥ⁿ) = 𝑛 ⋅ logₐ𝑥

✈️ Приклад: log₃(27⁴) = 4 ⋅ log₃27 = 4 ⋅ 3 = 12

7️⃣ Логарифм степеня основи:

logₐᵏ(𝑥) = 1/𝑘 ⋅ logₐ 𝑥

✈️ Приклад: log₂³(64) = 1/3 ⋅ log₂64 = 1/3 ⋅ 6 = 2

8️⃣ Формула переходу до іншої основи:

logₐ𝑏 = logₛ𝑏 / logₛ𝑎

✈️ Приклад: log₄8 = log₂8 / log₂4 = 3/2 = 1,5.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog