⚡️ ПОКАЗНИКОВІ НЕРІВНОСТІ

Сьогодні ми розглянемо ще одну важливу тему в рамках вивчення показникової функції — показникові нерівності. У цій темі ключову роль відіграє монотонність показникової функції.

🔍 Показникова нерівність — нерівність, у якій змінна міститься в показнику степеня при додатній основі.
✈️ Приклади: 3ˣ > 9, (1/2)²ˣ⁺¹ ≤ 1/8, 2ˣ – 5 ⋅ 2ˣ⁻² < 56.

✈️ Найпростіші показникові нерівності

1️⃣ Якщо маємо нерівність виду 𝑎ᶠ⁽ˣ⁾ > 𝑎ᵍ⁽ˣ⁾ (або <, ≥, ≤), де 𝑎 > 1, то 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) (відповідно <, ≥, ≤).
✈️ Приклад: 5ˣ⁻¹ < 25 → 5ˣ⁻¹ < 5² → 𝑥 – 1 < 2 → 𝑥 < 3 → 𝑥∈(–∞; 3).

2️⃣ Якщо маємо нерівність виду 𝑎ᶠ⁽ˣ⁾ > 𝑎ᵍ⁽ˣ⁾ (або <, ≥, ≤), де 0 < 𝑎 < 1, то 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) (відповідно >, ≤, ≥).

✈️ Зверніть увагу на зміну знака нерівності!

✈️ Приклад: (1/3)²ˣ⁺¹ ≥ 1/9 → (1/3)²ˣ⁺¹ ≥ (1/3)² → 2𝑥 + 1 ≤ 2 → 2𝑥 ≤ 1 → 𝑥 ≤ 1/2 → 𝑥∈(–∞; 0,5].

3️⃣ Якщо маємо нерівність виду 𝑎ᶠ⁽ˣ⁾ > 𝑏 (або <, ≥, ≤), де 𝑏 ≤ 0 і 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, то при 𝑎 > 1 нерівність виконується для всіх 𝑥 (якщо знак > або ≥) або не має розв'язків (якщо знак < або ≤). Якщо 0 < 𝑎 < 1, то навпаки.
✈️ Приклад 1: 2ˣ < –3 → розв'язків немає, оскільки 2ˣ > 0 завжди.
✈️ Приклад 2: (1/2)ˣ ≥ –1 → 𝑥∈(–∞; +∞), оскільки (1/2)ˣ > 0 завжди.

✈️ Нерівності, що зводяться до найпростіших показникових нерівностей

1️⃣ Якщо обидві частини показникової нерівності можна подати як степені з однією основою, використовуйте властивості показникової функції (збереження або зміна знака нерівності залежно від основи).
✈️ Приклад: 2ˣ ⋅ 8ˣ⁺¹ ≤ 32 → 2ˣ ⋅ 2³⁽ˣ⁺¹⁾ ≤ 2⁵ → 2ˣ⁺³ˣ⁺³ ≤ 2⁵ → 4𝑥 + 3 ≤ 5 → 4𝑥 ≤ 2 → 𝑥 ≤ 1/2 → 𝑥∈(–∞; 0,5].

2️⃣ Якщо в нерівності є кілька членів з однаковою показниковою функцією, зручно винести спільний множник за дужки.
✈️ Приклад: 5ˣ⁺¹ – 5ˣ⁻¹ > 120 → 5ˣ⁻¹ ⋅ (5² – 1) > 120 → 5ˣ⁻¹ ⋅ 24 > 120 → 5ˣ⁻¹ > 5 → 5ˣ⁻¹ > 5¹ → 𝑥 – 1 > 1 → 𝑥 > 2 → 𝑥∈(2; +∞).

3️⃣ Якщо в показникової нерівності кілька разів зустрічається один і той самий вираз зі змінною, використовуйте метод заміни змінної. Пам'ятайте про вплив заміни на знак нерівності та необхідність повернення до початкової змінної.
✈️ Приклад: 9ˣ – 4 ⋅ 3ˣ + 3 < 0 → (3ˣ)² – 4 ⋅ 3ˣ + 3 < 0 → заміна: 3ˣ = 𝑡 (𝑡 > 0) → 𝑡² – 4𝑡 + 3 < 0 → (𝑡 – 1)(𝑡 – 3) < 0 → 1 < 𝑡 < 3 → обернена заміна: 1 < 3ˣ < 3 → 3⁰ < 3ˣ < 3¹ → 0 < 𝑥 < 1 → 𝑥∈(0; 1).

4️⃣ В окремих випадках для розв'язання показникових нерівностей можуть знадобитися графічний метод або аналіз поведінки показникової функції.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog