⚡️ ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ

Сьогодні ми продовжимо розглядати показникову функцію і зупинимося на темі «Показникові рівняння». Тут буде розглянуто всі основні види показникових рівнянь.

🔍 Показникове рівняння — рівняння, у якому змінна входить до показника степеня з додатною основою.
✈️ Приклади: 2ˣ = 8, 5²ˣ⁻¹ = 125, 3ˣ + 3ˣ⁺¹ = 36.

✈️ Найпростіші показникові рівняння

1️⃣ Якщо маємо рівняння виду 𝑎ᶠ⁽ˣ⁾ = 1, де 𝑎 > 0 і 𝑎 ≠ 1, то 𝑓(𝑥) = 0.
✈️ Приклад: 7ˣ⁻⁴ = 1 → 𝑥 – 4 = 0 → 𝑥 = 4.

2️⃣ Якщо маємо рівняння виду 𝑎ᶠ⁽ˣ⁾ = 𝑎ᵍ⁽ˣ⁾, де 𝑎 > 0 і 𝑎 ≠ 1, то 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).
✈️ Приклад 1: 3ˣ⁺² = 27 → 3ˣ⁺² = 3³ → 𝑥 + 2 = 3 → 𝑥 = 1.
✈️ Приклад 2: 2ˣ = –4 → коренів немає, оскільки 2ˣ > 0.
✈️ Приклад 3: (1/3)ˣ⁻⁵ = (√3)²ˣ⁺² → 3⁻⁽ˣ⁻⁵⁾ = (3¹ᐟ²)²ˣ⁺² → 3⁵⁻ˣ = 3ˣ⁺¹ → 5 – 𝑥 = 𝑥 + 1 → 𝑥 = 2.

✈️ Рівняння, що зводяться до найпростіших показникових рівнянь

1️⃣ Якщо ліва й права частини показникового рівняння містять тільки добутки, частки, корені або степені, то доцільно за допомогою основних формул спробувати записати обидві частини рівняння як степені з однією основою.
✈️ Приклад: 5ˣ ⋅ 2ˣ = 0,01ˣ⁻³ → (5 ⋅ 2)ˣ = (1/100)ˣ⁻³ → 10ˣ = (10⁻²)ˣ⁻³ → 10ˣ = 10⁻²ˣ⁺⁶ → 𝑥 = –2𝑥 + 6 → 𝑥 = 2.

2️⃣ Якщо в одній частині показникового рівняння стоїть число, а в іншій — усі члени містять вираз виду 𝑎ᵏˣ (показники степенів відрізняються тільки числами), то зручно в цій частині рівняння винести за дужки найменший степінь 𝑎.
✈️ Приклад: 3ˣ + 3ˣ⁻² = 90 → 3ˣ⁻² ⋅ (3² + 1) = 90 → 3ˣ⁻² ⋅ 10 = 90 → 3ˣ⁻² = 9 → 3ˣ⁻² = 3² → 𝑥 – 2 = 2 → 𝑥 = 4.

3️⃣ Якщо у показниковому рівнянні кілька разів присутній один і той самий вираз зі змінною, то зручно цей вираз позначити однією буквою (новою змінною). Спочатку позбуваємося числових доданків у показниках степенів (використовуємо справа наліво основні формули дій над степенями). Якщо можливо, зводимо всі степені (зі змінною в показнику) до однієї основи і виконуємо заміну змінної.
✈️ Приклад: 4ˣ⁺¹ – 3 ⋅ 2ˣ = 10 → 4ˣ ⋅ 4 – 3 ⋅ 2ˣ – 10 = 0 → 4 ⋅ (2ˣ)² – 3 ⋅ 2ˣ – 10 = 0 → заміна: 2ˣ = 𝑡 → 4𝑡² – 3𝑡 – 10 = 0 → 𝑡₁ = –5/4; 𝑡₂ = 2 → обернена заміна:
❶ 2ˣ = –5/4 → коренів немає
➋ 2ˣ = 2 → 𝑥 = 1.


4️⃣ Якщо не можна звести всі степені до однієї основи, то пробуємо звести їх до двох основ так, щоб одержати однорідне рівняння (усі члени якого мають однаковий сумарний степінь і яке розв'язується почленним діленням обох частин рівняння на найбільший степінь однієї з двох одержаних основ).
✈️ Приклад: 4ˣ + 3 ⋅ 6ˣ – 4 ⋅ 9ˣ = 0 → (2²)ˣ + 3 ⋅ (2 ⋅ 3)ˣ – 4 ⋅ (3²)ˣ = 0 → 2²ˣ + 3 ⋅ 2ˣ ⋅ 3ˣ – 4 ⋅ 3²ˣ = 0 → 2²ˣ/3²ˣ + (3 ⋅ 2ˣ ⋅ 3ˣ)/3²ˣ – 4 ⋅ 3²ˣ/3²ˣ = 0 → (2/3)²ˣ + 3 ⋅ 2ˣ/3ˣ – 4 ⋅ 1 = 0 → (2/3)²ˣ + 3 ⋅ (2/3)ˣ – 4 = 0 → заміна: (2/3)ˣ = 𝑡 → 𝑡² + 3𝑡 – 4 = 0 → 𝑡₁ = –4; 𝑡₂ = 1 → обернена заміна:
❶ (2/3)ˣ = –4 → коренів немає
➋ (2/3)ˣ = 1 → 𝑥 = 0.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog