⚡️ ПЕРЕСТАНОВКИ, РОЗМІЩЕННЯ ТА КОМБІНАЦІЇ

Розглянемо інші види комбінаторних задач, де потрібно визначити, якою комбінаторною формулою треба її розв'язати. Для цього розглянемо приклад.

✈️ Вступна задача. У міських спортивних змаганнях з футболу беруть участь 6 команд з різних шкіл міста: «Соколи», «Орли», «Переможці», «Юність», «Лідери» та «Чемпіони».
1. Скількома способами можна розподілити місця серед цих команд?
2. Скількома способами можна розподілити золоту, срібну та бронзову медалі між командами?
3. Скількома способами можна вибрати дві команди для участі в наступному етапі змагань?

✈️ Розв'язання.
1️⃣ У першому випадку потрібно визначити всі можливі способи розташування 6 команд на 6 різних місцях.
✈️ Для першого місця є 6 варіантів (будь-яка з 6 команд).
✈️ Для другого місця залишається 5 варіантів (одна команда вже зайняла перше місце).
✈️ Для третього місця залишається 4 варіанти.
✈️ Для четвертого місця залишається 3 варіанти.
✈️ Для п'ятого місця залишається 2 варіанти.
✈️ Для шостого місця залишається 1 варіант.
✈️ Щоб знайти загальну кількість способів, потрібно перемножити кількість варіантів для кожного місця: 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720.

2️⃣ Тут нам потрібно вибрати 3 команди з 6 і розподілити між ними 3 різні медалі (золоту, срібну, бронзову). Порядок має значення, оскільки отримання золотої медалі відрізняється від отримання срібної.
✈️ Золоту медаль може отримати будь-яка з 6 команд (6 варіантів).
✈️ Срібну медаль може отримати будь-яка з 5 команд, що залишилися (5 варіантів).
✈️ Бронзову медаль може отримати будь-яка з 4 команд, що залишилися (4 варіанти).
✈️ Щоб знайти загальну кількість способів, потрібно перемножити кількість варіантів для кожної медалі: 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120.

3️⃣ У цьому випадку нам потрібно вибрати 2 команди з 6, але порядок вибору не має значення (вибір команд «Соколи» та «Орли» такий самий, як вибір команд «Орли» та «Соколи»).
✈️ Вибрати дві команди можна 6 ⋅ 5 = 30 способів.
✈️ Можливі перестановки між 2 командами: 2 ⋅ 1 = 2 способи.
✈️ Оскільки порядок не має значення, то кількість способів вибору двох команд потрібно поділити на кількість варіантів перестановок між ними: 30/2 = 15.

✈️ Відповідь: 1) 720; 2) 120; 3) 15

🔍 Факторіалом натурального числа n називається добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно:
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n.
1! = 1; 0! = 1.

🔍 Перестановкою з n елементів називається будь-яке впорядковане розташування цих n елементів:
Pₙ = n!.

🔍 Розміщенням з n елементів по k називається будь-яка впорядкована підгрупа з k різних елементів, вибраних з групи, що складається з n елементів:
Aₙᵏ = n! / (n – k)!.

🔍 Комбінацією з n елементів по k називається будь-яка невпорядкована група з k різних елементів, вибраних з групи, що складається з n елементів:
Cₙᵏ = Aₙᵏ /Pₖ = n! / (k! ⋅ (n – k)!).

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog