⚡️ РІВНЯННЯ cos(𝑥) = 𝑎

До найпростіших тригонометричних рівнянь належать рівняння cos(𝑥) = 𝑎, sin(𝑥) = 𝑎 і tg(𝑥) = 𝑎. Розглянемо окремо кожен вид рівнянь. Почнемо з рівняння виду cos(𝑥) = 𝑎.

1. Розв'язання за формулою

Якщо –1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, то рівняння має такі розв'язки:

𝑥 = ±arccos(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, то рівняння немає розв'язків, оскільки косинус не може набувати таких значень.

🔍 Окремі випадки:
🔍 якщо cos(𝑥) = 1, то 𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
🔍 якщо cos(𝑥) = 0, то 𝑥 = 𝜋/2 + 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
🔍 якщо cos(𝑥) = –1, то 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

2. Розв'язання за графіком

Функція 𝑦 = cos(𝑥) є періодичною з періодом 2𝜋 і приймає значення від −1 до 1.
🟠 Будуємо графік 𝑦 = cos(𝑥).
🟠 Проводимо горизонтальну пряму 𝑦 = 𝑎.
🟠 Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, вона перетинає графік косинуса у точках, що відповідають розв’язкам 𝑥 = ±arccos(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
🟠 Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, рівняння не має розв’язків, бо пряма не перетинатиме графік косинуса.

3. Розв’язання за одиничним колом

Функція 𝑦 = cos(𝑥) визначає косинус як абсцису точки на одиничному колі.
🟠Будуємо коло з радіусом 1 і проводимо пряму 𝑥 = 𝑎.
🟠Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, ця пряма перетинає коло у двох точках; абсциси цих точок визначають кут 𝑥 = ±arccos(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
🟠Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, лінія не перетинає коло, тому розв’язків не буде.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ РІВНЯННЯ sin(𝑥) = 𝑎

Продовжуємо розглядати найпростіші тригонометричні рівняння. Наступним буде рівняння виду sin(𝑥) = 𝑎.

1. Розв'язання за формулою

Якщо –1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, то рівняння має такі розв'язки:

𝑥 = (–1)ⁿ arcsin(𝑎) + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.

Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, то рівняння немає розв'язків, оскільки синус не може набувати таких значень.

🔍 Окремі випадки:
🔍 якщо sin(𝑥) = 1, то 𝑥 = 𝜋/2 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
🔍 якщо sin(𝑥) = 0, то 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
🔍 якщо sin(𝑥) = –1, то 𝑥 = –𝜋/2 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

2. Розв'язання за графіком

Функція 𝑦 = sin(𝑥) є періодичною з періодом 2𝜋 і приймає значення від −1 до 1.
🟠 Будуємо графік 𝑦 = sin(𝑥).
🟠 Проводимо горизонтальну пряму 𝑦 = 𝑎.
🟠 Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, вона перетинає графік синуса у точках, що відповідають розв’язкам 𝑥 = arcsin(𝑎) + 2𝜋𝑘 і 𝑥 = 𝜋 − arcsin(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
🟠 Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, рівняння не має розв’язків, бо пряма не перетинатиме графік синуса.

3. Розв’язання за одиничним колом

Функція 𝑦 = sin(𝑥) визначає синус як ординату точки на одиничному колі.
🟠Будуємо коло з радіусом 1 і проводимо пряму 𝑦 = 𝑎.
🟠Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, ця пряма перетинає коло у двох точках; ординати цих точок визначають кут 𝑥 = arcsin(𝑎) + 2𝜋𝑘 і 𝑥 = 𝜋 − arcsin(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
🟠Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, лінія не перетинає коло, тому розв’язків не буде.

🤫 Коренями рівняння sin(𝑥) = 𝑎 є тільки значення:
𝑥 = arcsin(𝑎) + 2𝜋𝑘 і 𝑥 = 𝜋 − arcsin(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
Обидві серії коренів можна задати однією формулою:
𝑥 = (–1)ⁿ arcsin(𝑎) + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
Дійсно, при 𝑛 = 2𝑘 (парне число) з останньої формули одержуємо першу серію коренів, а при 𝑛 = 2𝑘 +1 (непарне число) — другу серію.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog