⚡️ ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Для того щоб далі розв'язувати рівняння виду sin(𝑥) = 𝑎, cos(𝑥) = 𝑎 і tg(𝑥) = 𝑎, потрібно вміти знаходити вирази, обернені до sin(𝑥), cos(𝑥) і tg(𝑥). Що це за вирази і як з ними працювати, подивимося в цьому пості.

➡️ Обернені тригонометричні функції — це функції, які дозволяють знайти кут за відомим значенням тригонометричної функції.

✈️ Для одержання обернених тригонометричних функцій для кожної тригонометричної функції виділяють проміжок, на якому вона зростає (або спадає). Для позначення обернених тригонометричних функцій перед відповідною функцією ставиться буквосполучення «arc» (читається: «арк»).

1️⃣Арксинус 𝑦 = arcsin(𝑥) — це функція, обернена до синуса (див. скриншот). Вона визначає кут 𝛼∈[–𝜋/2; 𝜋/2], для якого sin(𝛼) = 𝑏.
🔍 Область визначення: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.
🔍 Множина значень: −𝜋/2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋/2.
🔍 Функція непарна: arcsin(–𝑥) = –arcsin(𝑥).

2️⃣Арккосинус 𝑦 = arccos(𝑥) — це функція, обернена до косинуса (див. скриншот). Вона визначає кут 𝛼∈[0; 𝜋], для якого cos(𝛼) = 𝑏.
🔍 Область визначення: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.
🔍 Множина значень: 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋.
🔍 Функція ні парна, ні непарна: arccos(–𝑥) = 𝜋 – arccos(𝑥).

3️⃣Арктангенс 𝑦 = arctg(𝑥) — це функція, обернена до тангенса (див. скриншот). Вона визначає кут 𝛼, для якого tg(𝛼) = 𝑏.
🔍 Область визначення: 𝑥∈(−∞; +∞).
🔍 Множина значень: −𝜋/2 < 𝑦 < 𝜋/2.
🔍 Функція непарна: arctg(–𝑥) = –arctg(𝑥).

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ РІВНЯННЯ cos(𝑥) = 𝑎

До найпростіших тригонометричних рівнянь належать рівняння cos(𝑥) = 𝑎, sin(𝑥) = 𝑎 і tg(𝑥) = 𝑎. Розглянемо окремо кожен вид рівнянь. Почнемо з рівняння виду cos(𝑥) = 𝑎.

1. Розв'язання за формулою

Якщо –1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, то рівняння має такі розв'язки:

𝑥 = ±arccos(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, то рівняння немає розв'язків, оскільки косинус не може набувати таких значень.

🔍 Окремі випадки:
🔍 якщо cos(𝑥) = 1, то 𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
🔍 якщо cos(𝑥) = 0, то 𝑥 = 𝜋/2 + 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
🔍 якщо cos(𝑥) = –1, то 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

2. Розв'язання за графіком

Функція 𝑦 = cos(𝑥) є періодичною з періодом 2𝜋 і приймає значення від −1 до 1.
🟠 Будуємо графік 𝑦 = cos(𝑥).
🟠 Проводимо горизонтальну пряму 𝑦 = 𝑎.
🟠 Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, вона перетинає графік косинуса у точках, що відповідають розв’язкам 𝑥 = ±arccos(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
🟠 Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, рівняння не має розв’язків, бо пряма не перетинатиме графік косинуса.

3. Розв’язання за одиничним колом

Функція 𝑦 = cos(𝑥) визначає косинус як абсцису точки на одиничному колі.
🟠Будуємо коло з радіусом 1 і проводимо пряму 𝑥 = 𝑎.
🟠Якщо −1 ⩽ 𝑎 ⩽ 1, ця пряма перетинає коло у двох точках; абсциси цих точок визначають кут 𝑥 = ±arccos(𝑎) + 2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
🟠Якщо 𝑎 < –1 або 𝑎 > 1, лінія не перетинає коло, тому розв’язків не буде.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog