⚡️ ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Тут розглянемо поняття парності і непарності синуса, косинуса і тангенса, а також визначимо періодичність цих функцій.

➡️ Парність і непарність тригонометричних функцій. Розглянемо точку 𝑃(𝑥; 𝑦) на одиничному колі, яка відповідає куту 𝛼.
🟠Косинус кута — це абсциса цієї точки: cos(𝛼) = 𝑥.
🟠Синус кута — це ордината цієї точки: sin(𝛼) = 𝑦.
🟠Тангенс кута визначається як tg(𝛼) = sin(𝛼)/cos(𝛼).

✈️Якщо замінити 𝛼 на −𝛼 (відбиття точки відносно осі 𝑂𝑥), то:
🔍абсциса точки (значення косинуса) залишається незмінною, тобто cos(−𝛼) = cos(𝛼).
🔍ордината точки (значення синуса) змінює знак: sin(−𝛼) = −sin(𝛼).
🔍тангенс також змінює знак, оскільки він є відношенням синуса до косинуса: tg(−𝛼) = sin(−𝛼)/cos(−𝛼) = −sin(𝛼)/cos(𝛼) = −tg(𝛼).

🔍 Висновки:
✈️ синус — непарна функція, бо sin(−𝛼) = −sin(𝛼);
✈️ косинус — парна функція, бо cos(−𝛼) = cos(𝛼);
✈️ тангенс — непарна функція, бо tg(−𝛼) = −tg(𝛼).

➡️ Періодичність тригонометричних функцій. Функція 𝑓(𝑥) називається періодичною, якщо існує таке число 𝑇 > 0, що для всіх 𝑥 виконується рівність:

𝑓(𝑥 – 𝑇) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑇).

Число 𝑇 називається найменшим додатним періодом функції.

✈️Розглянемо точку 𝑃(𝑥; 𝑦) на одиничному колі, яка відповідає куту 𝛼.

✈️Для синуса маємо:
🔍ордината точки на одиничному колі визначає значення sin(𝛼);
🔍якщо до кута 𝛼 додати 2𝜋, точка повернеться у вихідне положення (пройде все коло), тобто: sin(𝛼 + 2𝜋) = sin(𝛼);
🔍найменший додатний період синуса: 𝑇 = 2𝜋.

✈️Для косинуса маємо:
🔍абсциса точки на одиничному колі визначає значення cos(𝛼);
🔍додавши 2𝜋 до кута, ми отримуємо той самий косинус, оскільки точка повертається у вихідне положення: cos(𝛼 + 2𝜋) = cos(𝛼);
🔍найменший додатний період косинуса: 𝑇 = 2𝜋.

✈️Для тангенса маємо:
🔍оскільки tg(𝛼) = sin(𝛼)/cos(𝛼), то потрібно знайти, коли значення тангенса повторюється;
🔍Якщо додати до кута 𝜋, то точка переміститься в протилежну точку кола, тобто: tg(𝛼 + 𝜋) = sin(𝛼 + 𝜋)/cos(𝛼 + 𝜋) = [–sin(𝛼)]/[–cos(𝛼)] = sin(𝛼)/cos(𝛼) = tg(𝛼);
🔍найменший додатний період тангенса: 𝑇 = 𝜋.

🔍 Висновки:
✈️ sin(𝛼 + 2𝜋) = sin(𝛼);
✈️ cos(𝛼 + 2𝜋) = cos(𝛼);
✈️ tg(𝛼 + 𝜋) = tg(𝛼).

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ ОСНОВНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ

Сьогодні подивимося найважливіші тригонометричні формули, за допомогою яких можна спрощувати тригонометричні вирази. У цьому пості будуть наведені основні тригонометричні тотожності та формули подвійного аргументу, а також стратегії їх використання.

➡️ Ключові тригонометричні формули для НМТ. У тригонометрії існує ряд основних тотожностей, які допомагають спрощувати вирази та розв’язувати рівняння. Важливо вміти їх швидко розпізнавати та застосовувати.

1️⃣Основна тригонометрична тотожність:

sin²(𝑎) + cos²(𝑎) = 1

Наслідки:
🔍 sin²(𝑎) = 1 – cos²(𝑎);
🔍 cos²(𝑎) = 1 – sin²(𝑎).

2️⃣ Визначення тангенса:

tg(𝑎) = sin(𝑎)/cos(𝑎)

3️⃣ Тотожність для тангенса:

1 + tg²(𝑎) = 1/cos²(𝑎)

4️⃣ Формули подвійного аргумента:

sin(2𝑎) = 2sin(𝑎)cos(𝑎);
cos(2𝑎) = cos²(𝑎) – sin²(𝑎).

Наслідки:
🔍 cos(2𝑎) = 2cos²(𝑎) – 1;
🔍 cos(2𝑎) = 1 – 2sin²(𝑎).

➡️Стратегії спрощення тригонометричних виразів. Щоб ефективно спрощувати тригонометричні вирази, необхідно слідувати таким крокам.
🟠Розпізнавати тригонометричні формули. Завжди шукайте знайомі вирази. Наприклад, sin²(𝑎) + cos²(𝑎) = 1 або 1 + tg²(𝑎) = 1/cos²(𝑎).
🟠Зводити функції до синуса і косинуса. Якщо вираз складається з різних тригонометричних функцій, то зазвичай тангенси замінюють через tg(𝑎) = sin(𝑎)/cos(𝑎), щоб мати лише синуси та косинуси.
🟠Урівнювати кути у функціях. Якщо в прикладі є, наприклад, sin(2𝑎) і cos(𝑎), можна звести все до однакового аргументу. Для цього застосовуються формули подвійного аргумента.
🟠Застосовувати методи спрощення виразів. Формули скороченого множення, наприклад: (cos(𝑎) – sin(𝑎))(cos(𝑎) + sin(𝑎)) = cos²(𝑎) – sin²(𝑎) = cos(2𝑎).
Винесення спільного множника за дужки, наприклад: 2sin²(𝑎) + 2cos²(𝑎) = 2(sin²(𝑎) + cos²(𝑎)) = 2 × 1 = 2.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog