⚡️ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ КУТА І ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

Продовжуємо знайомитися з основними поняттями тригонометрії. На черзі — означення синуса, косинуса і тангенса з точки зору тригонометрії.

➡️ Через прямокутний трикутник. Якщо △𝐴𝐶𝐵 — прямокутний (∠𝐶 = 90°) і позначимо 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑐, ∠𝐴 = 𝛼 (див. скриншот), то:
🟠 синус гострого кута 𝛼 прямокутного трикутника — це відношення катета, протилежного куту 𝛼, до гіпотенузи:

sin 𝛼 = 𝑎/𝑐

🟠 косинус гострого кута 𝛼 прямокутного трикутника — це відношення катета, прилеглого куту 𝛼, до гіпотенузи:

cos 𝛼 = 𝑏/𝑐

🟠 тангенс гострого кута 𝛼 прямокутного трикутника — це відношення катета, протилежного куту 𝛼, до катета, прилеглого куту 𝛼:

tg 𝛼 = 𝑎/𝑏

➡️ Через одиничне коло. Використаємо рівняння 𝑥² + 𝑦² = 1 — це рівняння кола з центром у точці (0; 0) та радіусом 𝑅 = 1. Таке коло називають одиничним. Оберемо точку 𝑃(1; 0) та здійснемо поворот цієї точки на кут 𝛼. Отримаємо точку 𝑀(𝑥₀; 𝑦₀). Тоді (див. скриншот):
🟠 синус кута 𝛼 — це ордината точки 𝑀(𝑥₀; 𝑦₀) одиничного кола:

sin 𝛼 = 𝑦₀

🟠 косинус кута 𝛼 — це абсциса точки 𝑀(𝑥₀; 𝑦₀) одиничного кола:

cos 𝛼 = 𝑥₀

🟠 тангенс кута 𝛼 — це відношення ординати точки 𝑀(𝑥₀; 𝑦₀) до абсциси цієї точки одиничного кола:

tg 𝛼 = 𝑦₀/𝑥₀ = sin 𝛼 / cos 𝛼

🔍 Ураховуючи, що рівності sin 𝛼 = 𝑦₀ і cos 𝛼 = 𝑥₀ виконуються на одиничному колі, то:
–1 ⩽ sin 𝛼 ⩽ 1;
–1 ⩽ cos 𝛼 ⩽ 1.

➡️ Знаки тригонометричних функцій. Оскільки для точки 𝑀(𝑥₀; 𝑦₀) одиничного кола виконується рівність sin 𝛼 = 𝑦₀, то sin 𝛼 > 0 у I та II координатних чвертях. Аналогічно sin 𝛼 < 0 у ІІІ та IV координатних чвертях.
🟠Таким самим чином визначається, що для рівності cos 𝛼 = 𝑥₀ нерівність cos 𝛼 > 0 виконується у I та IV координатних чвертях, а cos 𝛼 < 0 — у II та III координатних чвертях.
🟠Оскільки tg 𝛼 = 𝑦₀/𝑥₀, то tg 𝛼 > 0 там, де sin 𝛼 і cos 𝛼 мають однакові знаки, тобто в І і III чвертях. Відповідно tg 𝛼 < 0 там, де sin 𝛼 і cos 𝛼 мають різні знаки, тобто в II і IV чвертях (див. скриншот).

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog