⚡️ НАЙПРОСТІШІ НЕРІВНОСТІ, ЩО МІСТЯТЬ МОДУЛЬ

Тема нерівностей є досить непростою, тому в цьому пості розглянемо 2 види нерівностей, що містять модуль.

1️⃣ Нерівності виду |f(x)| > a, де a — довільне число, f(x) — многочлен.

✈️ Щоб розв'язувати такі нерівності, слід звернути увагу на a:
🔍 якщо a ⩾ 0, то маємо розв'язати дві нерівності:
1) f(x) > a;
2) f(x) < –a,
та поєднати отримані проміжки знаком «∪»;
🔍 якщо a < 0, то x∈(–∞; +∞), оскільки модуль завжди більший за від'ємне число.

2️⃣ Нерівності виду |f(x)| < a, де a — довільне число, f(x) — многочлен.

✈️ Щоб розв'язувати такі нерівності, також слід звернути увагу на a:
🔍 якщо a > 0, то маємо розв'язати таку подвійну нерівність:
–a < f(x) < a
або систему (на ваш вибір):
{f(x) < a,
{f(x) > –a;
🔍 якщо a ⩽ 0, то x∈Ø, оскільки модуль не може бути менший за 0 або від'ємне число.

ℹ️ Якщо маєте нерівність, де є множення виразів, серед яких є модуль, то існує два шляхи розв'язання:
1) використати метод інтервалів (знайти нулі дужок і модулів та визначити знаки на кожному інтервалі — модуль веде себе так само, як і дужка парного степеня);
2) поділити обидві частини нерівності на цей модуль, перевіривши її розв'язок при значенні x, що обнуляє модуль, і далі розв'язуючи спрощену нерівність.

🤫 Для розв'язування нерівностей виду |f(x)| > a та |f(x)| < a, де a > 0, можна застосовувати метод піднесення обох частин нерівності до квадрата для прибирання модуля:
1) якщо a > 0 і |f(x)| > a, то (f(x))² > a²;
2) якщо a > 0 і |f(x)| < a, то (f(x))² < a².

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ НАЙПРОСТІШІ ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

Ці нерівності є чи не найскладнішими у шкільному курсі алгебри через багато різних обмежень та форматів. Розглянемо найпростіші види таких нерівностей.

1️⃣ Нерівності виду ⁿ√f(x) V a, де a — довільне число, n — непарне натуральне число (n > 1), f(x) — многочлен, V — один із знаків >, <, ⩾, ⩽.
🔍 Для розв'язування таких нерівностей слід піднести обидві частини нерівності на степінь кореня:
f(x) V aⁿ.

2️⃣ Нерівності виду √f(x) > a, де a — довільне число, f(x) — многочлен.

✈️ Щоб розв'язувати такі нерівності, слід звернути увагу на a:
🔍 якщо a ⩾ 0, то підносимо обидві частини нерівності до квадрату:
f(x) > a².
🔍 якщо a < 0, то слід розв'язати ОДЗ кореня: f(x) ⩾ 0 — оскільки результатом квадратного кореня можуть бути невід'ємні числа (за умови існування такого кореня).

3️⃣ Нерівності виду √f(x) < a, де a — довільне число, f(x) — многочлен.

✈️ Щоб розв'язувати такі нерівності, слід звернути увагу на a:
🔍 якщо a ⩾ 0, то підносимо обидві частини нерівності до квадрату та ураховуємо ОДЗ кореня:
0 ⩽ f(x) < a².
🔍 якщо a ⩽ 0, то x∈Ø, оскільки квадратні корені не можуть бути менші за 0 або від'ємне число.

ℹ️ Якщо маєте нерівність, де є множення виразів, серед яких є квадратний корінь, то існує два шляхи розв'язання:
1) використати метод інтервалів (знайти нулі дужок і коренів та визначити знаки на кожному інтервалі — розглядаємо інтервали на ділянках ОДЗ);
2) поділити обидві частини нерівності на цей корінь, перевіривши його розв'язок при значенні x, що обнуляє корінь, і далі розв'язувати спрощену нерівність (з урахуванням ОДЗ).

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog