⚡️ МЕТОД ІНТЕРВАЛІВ

Нерівності можуть бути різними, і зазвичай їхнє розв'язання складніше за розв'язання аналогічних рівнянь. Існує загальний метод, який може допомогти розв'язати велику кількість алгебраїчних нерівностей.

➡️ Метод інтервалів — це спосіб розв’язування нерівностей ƒ(x) V 0, де V — один із знаків >, <, ⩾, ⩽, який ґрунтується на тому, що неперервна на проміжку функція може змінювати (або не змінювати) знак тільки в тих точках, де її значення дорівнює нулю.

🔍 Алгоритм розв'язання нерівності методом інтервалів

1️⃣ запишіть нерівність у вигляді ƒ(x) V 0;
2️⃣ знайдіть область визначення функції y = ƒ(x);
3️⃣ знайдіть усі значення х, при яких функція y = ƒ(x) дорівнює нулю, тобто розв’яжіть рівняння ƒ(x) = 0;
4️⃣ розбийте область визначення на проміжки, у яких кожен із кінців є коренем рівняння ƒ(x) = 0 або кінцевою точкою проміжку визначення функції y = ƒ(x);
5️⃣ визначте знак функції y = ƒ(x) на кожному з утворених проміжків шляхом підбирання «пробних точок» і їх підставляння у нерівність;
6️⃣ об’єднайте проміжки, на яких функція y = ƒ(x) задовольняє нерівність, у множину розв’язків залежно від знака нерівності:
🔍якщо «>» або «⩾», то обираємо проміжки з «+»;
🔍якщо «<» або «⩽», то обираємо проміжки з «–».

Цей метод зазвичай використовують у нерівностях, які складніші за квадратні, але для квадратних нерівностях також можна застосовувати цей спосіб.

✈️ Правила для швидкого визначення знаків нерівності:

🔍 якщо нерівність виду ƒ(x) V 0, де функція y = ƒ(x) розкладена на лінійні множники, містить усі дужки виду (x ± a), де a — довільне число, то в крайньому правому інтервалі буде знак «+»;

🔍 якщо нерівність виду ƒ(x) V 0, де функція y = ƒ(x) розкладена на лінійні множники, містить дужки виду (x ± a)ⁿ, де a — довільне число, n — непарне число, то знаки «+» і «–» чергуються;

🔍 якщо нерівність виду ƒ(x) V 0, де функція y = ƒ(x) розкладена на лінійні множники, містить дужки виду (x ± a)ⁿ, де a — довільне число, n — парне число, то при переході через точку x = ∓a знак «+» або «–» продублюється.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ НАЙПРОСТІШІ НЕРІВНОСТІ, ЩО МІСТЯТЬ МОДУЛЬ

Тема нерівностей є досить непростою, тому в цьому пості розглянемо 2 види нерівностей, що містять модуль.

1️⃣ Нерівності виду |f(x)| > a, де a — довільне число, f(x) — многочлен.

✈️ Щоб розв'язувати такі нерівності, слід звернути увагу на a:
🔍 якщо a ⩾ 0, то маємо розв'язати дві нерівності:
1) f(x) > a;
2) f(x) < –a,
та поєднати отримані проміжки знаком «∪»;
🔍 якщо a < 0, то x∈(–∞; +∞), оскільки модуль завжди більший за від'ємне число.

2️⃣ Нерівності виду |f(x)| < a, де a — довільне число, f(x) — многочлен.

✈️ Щоб розв'язувати такі нерівності, також слід звернути увагу на a:
🔍 якщо a > 0, то маємо розв'язати таку подвійну нерівність:
–a < f(x) < a
або систему (на ваш вибір):
{f(x) < a,
{f(x) > –a;
🔍 якщо a ⩽ 0, то x∈Ø, оскільки модуль не може бути менший за 0 або від'ємне число.

ℹ️ Якщо маєте нерівність, де є множення виразів, серед яких є модуль, то існує два шляхи розв'язання:
1) використати метод інтервалів (знайти нулі дужок і модулів та визначити знаки на кожному інтервалі — модуль веде себе так само, як і дужка парного степеня);
2) поділити обидві частини нерівності на цей модуль, перевіривши її розв'язок при значенні x, що обнуляє модуль, і далі розв'язуючи спрощену нерівність.

🤫 Для розв'язування нерівностей виду |f(x)| > a та |f(x)| < a, де a > 0, можна застосовувати метод піднесення обох частин нерівності до квадрата для прибирання модуля:
1) якщо a > 0 і |f(x)| > a, то (f(x))² > a²;
2) якщо a > 0 і |f(x)| < a, то (f(x))² < a².

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog