⚡️ ФУНКЦІЇ. АНАЛІТИЧНЕ ПОДАННЯ ФУНКЦІЙ

Сьогодні продовжимо вивчати тему «Функції». Тут розглянемо ті завдання, які були у нас попереднього посту, але не з графічного представлення функцій, а з формульного (аналітичного).

➡️ Функція — залежність змінної y від змінної x, при якій кожному значенню x відповідає єдине значення y. Змінна x називається незалежною змінною, або аргументом функції, а змінна y — залежною змінною, або функцією.
⏩ Приклади:
🟠 y = 2x – 5, y = x² + x – 6, y = √x + 1 — функції;
🟠 2x + 3y = 4, y² = x – 4, √x + √y = 3 — рівняння.

🔍 Розглянемо ключові властивості аналітично заданих функцій на прикладі функції y = x² – 9:

1️⃣ Точка перетину графіка функції з віссю y — це точка з координатами (0; y₀):
y = x² – 9 → y = 0² – 9 = –9 → (0; –9) — це точка перетину графіка функції з віссю y.

2️⃣ Точка перетину графіка функції з віссю x — це точка з координатами (x₀; 0):
y = x² – 9 → 0 = x² – 9 → x² = 9 → x = ±3 → (–3; 0) і (3; 0) — це точки перетину графіка функції з віссю x.

3️⃣Нулі функції — це всі значення аргумента, за яких функція дорівнює нулю (y = 0):
y = x² – 9 → 0 = x² – 9 → x² = 9 → x = ±3 — це нулі функції.

4️⃣ Область визначення функції — множина дійсних значень незалежної змінної x, для яких ця функція визначена (має зміст):
D(y) = (–∞; +∞), оскільки немає обмежень на x.

5️⃣ Множина значень функції — множина всіх дійсних значень, яких набуває залежна змінна y при всіх значеннях аргумента з області визначення:
якщо x² ⩾ 0, то x² – 9 ⩾ –9, звідки y ⩾ –9, а тому E(y) = [–9; +∞).

➡️ Область визначення деяких функцій.

1️⃣ Функція виду y = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ не має обмежень у визначенні області визначення функції, тому:

D(y) = (–∞; +∞).

⏩ Приклад: область визначення функції y = x³ + 8x дорівнює (–∞; +∞).

2️⃣ Функція виду y = f(x)/g(x) має обмеження, які враховують при знаходженні області визначення функції:

D(y): g(x) ≠ 0.

⏩ Приклад: область визначення функції y = (x + 1)/(x – 2):
D(y): x – 2 ≠ 0 → x ≠ 2 → x∈(–∞; 2)∪(2; +∞).

3️⃣ Функція виду y = ²ⁿ√f(x), n∈ℕ, має обмеження, які враховують при знаходженні області визначення функції:

D(y): f(x) ⩾ 0.

⏩ Приклад: область визначення функції y = √(5 – x):
D(y): 5 – x ⩾ 0 → –x ⩾ –5 → x ⩽ 5 → x∈(–∞; 5].

➡️ Шматково-задана функція — це функція, яка визначається різними формулами на різних інтервалах свого аргументу.

f(x) = {
f₁(x), якщо x ∈ I₁
f₂(x), якщо x ∈ I₂
...
fₙ(x), якщо x ∈ Iₙ
}

де:
🟠f(x) — позначення функції.
🟠f₁(x), f₂(x), ..., fₙ(x) — формули, що визначають функцію на різних інтервалах.
🟠I₁, I₂, ..., Iₙ — інтервали, на яких діють відповідні формули. Важливо, щоб ці інтервали не перекривалися (крім можливо точок з'єднання) і в сукупності покривали всю область визначення функції.

⏩Приклад. Розглянемо функцію:
f(x) = {
x², якщо x < 0,
1, якщо 0 ≤ x ≤ 2,
x – 1, якщо x > 2.
}
Ця функція визначена трьома різними формулами на трьох різних інтервалах:
🟠якщо x < 0, функція дорівнює x²;
🟠якщо x знаходиться в діапазоні від 0 до 2 (включно), функція дорівнює 1;
🟠якщо x > 2, функція дорівнює x – 1.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog