🌟 Квадратні рівняння з параметром (частина 4)
Ми завершили неповні квадратні рівняння з параметрами. У цьому пості ми розглянемо повні квадратні рівняння з параметрами. Саме такі рівняння найчастіше зустрічалися на НМТ 2023.
Приклад 1. Визначте добуток усіх цілих значень a, за яких рівняння x² – 2ax + 16 = 0 має єдиний корінь.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –2a; c = 16
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (–2a)² – 4 ∙ 1 ∙ 16 = 4a² – 64.
③ Квадратне рівняння буде мати єдиний корінь, коли його дискримінант дорівнює нулю:
4a² – 64 = 0 |:4
a² – 16 = 0,
a² = 16,
a = ±4.
④ Визначаємо добуток знайдених значень параметра: –4 ∙ 4 = –16.
Відповідь: –16.
Приклад 2. Визначте найбільше ціле значення a, за якого рівняння x² – 8x + 2a = 0 має два дійсних корені.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = 8; c = 2a
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = 8² – 4 ∙ 1 ∙ 2a = 64 – 8a.
③ Квадратне рівняння буде мати два дійсні корені, коли його дискримінант є додатнім:
64 – 8a > 0
–8a > –64
a < 8.
④ Найбільшим цілим значенням a є число 7.
Відповідь: 7.
Приклад 3. Визначте кількість усіх цілих значень a, за яких рівняння x² – (a – 3)x + 4 = 0 не має дійсних коренів.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –(a – 3); c = 4
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (a – 3)² – 4 ∙ 1 ∙ 4 = a² – 6a + 9 – 16 = a² – 6a – 7.
③ Квадратне рівняння не буде мати дійсних коренів, коли його дискримінант є від'ємним:
a² – 6a – 7 < 0
a² – 6a – 7 = 0
a₁ = –1; a₂ = 7
Визначаємо графічним способом (сподіваюсь, ви дивились попередні пости та знаєте, як такі нерівності розв'язувати):
a∈(–1; 7).
④ Цілі значення параметра: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 — усього 7 значень.
Відповідь: 7.
Далі розглянемо інші питання, які стосуватимуться квадратних рівнянь з параметрами.
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
Ми завершили неповні квадратні рівняння з параметрами. У цьому пості ми розглянемо повні квадратні рівняння з параметрами. Саме такі рівняння найчастіше зустрічалися на НМТ 2023.
Приклад 1. Визначте добуток усіх цілих значень a, за яких рівняння x² – 2ax + 16 = 0 має єдиний корінь.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –2a; c = 16
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (–2a)² – 4 ∙ 1 ∙ 16 = 4a² – 64.
③ Квадратне рівняння буде мати єдиний корінь, коли його дискримінант дорівнює нулю:
4a² – 64 = 0 |:4
a² – 16 = 0,
a² = 16,
a = ±4.
④ Визначаємо добуток знайдених значень параметра: –4 ∙ 4 = –16.
Відповідь: –16.
Приклад 2. Визначте найбільше ціле значення a, за якого рівняння x² – 8x + 2a = 0 має два дійсних корені.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = 8; c = 2a
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = 8² – 4 ∙ 1 ∙ 2a = 64 – 8a.
③ Квадратне рівняння буде мати два дійсні корені, коли його дискримінант є додатнім:
64 – 8a > 0
–8a > –64
a < 8.
④ Найбільшим цілим значенням a є число 7.
Відповідь: 7.
Приклад 3. Визначте кількість усіх цілих значень a, за яких рівняння x² – (a – 3)x + 4 = 0 не має дійсних коренів.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –(a – 3); c = 4
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (a – 3)² – 4 ∙ 1 ∙ 4 = a² – 6a + 9 – 16 = a² – 6a – 7.
③ Квадратне рівняння не буде мати дійсних коренів, коли його дискримінант є від'ємним:
a² – 6a – 7 < 0
a² – 6a – 7 = 0
a₁ = –1; a₂ = 7
Визначаємо графічним способом (сподіваюсь, ви дивились попередні пости та знаєте, як такі нерівності розв'язувати):
a∈(–1; 7).
④ Цілі значення параметра: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 — усього 7 значень.
Відповідь: 7.
Далі розглянемо інші питання, які стосуватимуться квадратних рівнянь з параметрами.
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
❤6👍1
Укажіть проміжок, якому належить значення a, за якого рівняння x² – 6x – a + 4 = 0 має єдиний корінь.
Anonymous Quiz
16%
(–∞; –6)
52%
[–6; –1)
14%
[–1; 0)
4%
[0; 1)
14%
[1; +∞)
Визначте кількість усіх цілих значень a, за яких рівняння x² – 3ax + 36 = 0 не має дійсних коренів.
Anonymous Quiz
8%
10
15%
9
17%
8
52%
7
8%
6
Визначте суму всіх цілих значень a з проміжку [–5; 5], за яких рівняння x² – 2ax – 3a = 0 має два дійсних корені.
Anonymous Quiz
10%
3
51%
6
19%
0
13%
–3
7%
10
🔥3
📚 Додаткові завдання
Якщо є бажання попрактикуватися, надаю ще завдання. У кінці є відповіді.
Завдання 1. Визначте суму всіх цілих значень a, за яких рівняння x² – (a – 3)x + 2a – 9 = 0 має єдиний корінь.
Завдання 2. Визначте кількість усіх цілих значень a з проміжку [–10; 10], за яких рівняння x² – (a + 4)x + 3a + 7 = 0 має два дійсних корені.
Завдання 3. Визначте найбільше ціле значення a, за якого рівняння x² + (3a – 5)x + 2a² – 1 = 0 не має дійсних коренів.
Відповіді:
1. 14
2. 12
3. 28
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
Якщо є бажання попрактикуватися, надаю ще завдання. У кінці є відповіді.
Завдання 1. Визначте суму всіх цілих значень a, за яких рівняння x² – (a – 3)x + 2a – 9 = 0 має єдиний корінь.
Завдання 2. Визначте кількість усіх цілих значень a з проміжку [–10; 10], за яких рівняння x² – (a + 4)x + 3a + 7 = 0 має два дійсних корені.
Завдання 3. Визначте найбільше ціле значення a, за якого рівняння x² + (3a – 5)x + 2a² – 1 = 0 не має дійсних коренів.
Відповіді:
2. 12
3. 28
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
👍6❤3
👍3
❤1
🫡6🤔2🥰1
Укажіть кількість цілих чисел, що належать проміжку (log₂ 8; √81).
Anonymous Quiz
11%
4
62%
5
14%
6
6%
7
7%
8
👍8
🌟 Квадратні рівняння з параметром (частина 5)
Продовжуємо розбиратися з повними квадратними рівняннями з параметрами. Тут ми розглянемо ситуації, які потребують знаходження коренів квадратного рівняння та їх аналізу.
Приклад 1. За якого найменшого цілого значення a обидва корені рівняння x² – (3 – a)x – 2a² – 6a = 0 є додатними?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –(3 – a); c = –2a² – 6a
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (3 – a)² – 4(–2a² – 6a) = 9 – 6a + a² + 8a² + 24a = 9a² + 18a + 9 = 9(a² + 2a + 1) = 9(a + 1)².
③ Знаходимо корені рівняння:
x₁ = (–b – √D)/(2a) = (3 – a – √[9(a + 1)²])/2 = (3 – a – 3(a + 1))/2 = (3 – a – 3a – 3)/2 = –4a/2 = –2a;
x₂ = (–b + √D)/(2a) = (3 – a + √[9(a + 1)²])/2 = (3 – a + 3(a + 1))/2 = (3 – a + 3a + 3)/2 = (2a + 6)/2 = a + 3.
④ За умовою обидва корені рівняння мають бути додатними, тому складаємо систему нерівностей:
{–2a > 0, {a < 0,
{a + 3 > 0. {a > –3.
Таким чином, a∈(–3; 0). Найменше ціле значення параметра дорівнює –2.
Відповідь: –2.
Приклад 2. Визначте найбільше ціле значення a, за якого один із коренів рівняння x² – (3a – 1)x + 2a² – 3a – 2 = 0 менший від 2, а другий більший за 3.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –(3a – 1); c = 2a² – 3a – 2
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (3a – 1)² – 4(2a² – 3a – 2) = 9a² – 6a + 1 – 8a² + 12a + 8 = a² + 6a + 9 = (a + 3)².
③ Знаходимо корені рівняння:
x₁ = (–b – √D)/(2a) = (3a – 1 – √(a + 3)²)/2 = (3a – 1 – (a + 3))/2 = a – 2;
x₂ = (–b + √D)/(2a) = (3a – 1 + √(a + 3)²)/2 = (3a – 1 + (a + 3))/2 = 2a + 1.
④ За умовою один корінь має бути меншим від 2, а другий більший за 3. Розглянемо два випадки:
Перший випадок:
{a – 2 < 2, {a < 4,
{2a + 1 > 3, {a > 1.
Таким чином, a∈(1; 4).
Другий випадок:
{2a + 1 < 2, {a < 0,5,
{a – 2 > 3, {a > 5.
Таким чином, a∈∅.
Отже, a∈(1; 4). Найбільше ціле значення параметра дорівнює 3.
Відповідь: 3.
Далі розглянемо інші питання, які стосуватимуться повних квадратних рівнянь з параметрами.
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
Продовжуємо розбиратися з повними квадратними рівняннями з параметрами. Тут ми розглянемо ситуації, які потребують знаходження коренів квадратного рівняння та їх аналізу.
Приклад 1. За якого найменшого цілого значення a обидва корені рівняння x² – (3 – a)x – 2a² – 6a = 0 є додатними?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –(3 – a); c = –2a² – 6a
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (3 – a)² – 4(–2a² – 6a) = 9 – 6a + a² + 8a² + 24a = 9a² + 18a + 9 = 9(a² + 2a + 1) = 9(a + 1)².
③ Знаходимо корені рівняння:
x₁ = (–b – √D)/(2a) = (3 – a – √[9(a + 1)²])/2 = (3 – a – 3(a + 1))/2 = (3 – a – 3a – 3)/2 = –4a/2 = –2a;
x₂ = (–b + √D)/(2a) = (3 – a + √[9(a + 1)²])/2 = (3 – a + 3(a + 1))/2 = (3 – a + 3a + 3)/2 = (2a + 6)/2 = a + 3.
④ За умовою обидва корені рівняння мають бути додатними, тому складаємо систему нерівностей:
{–2a > 0, {a < 0,
{a + 3 > 0. {a > –3.
Таким чином, a∈(–3; 0). Найменше ціле значення параметра дорівнює –2.
Відповідь: –2.
Приклад 2. Визначте найбільше ціле значення a, за якого один із коренів рівняння x² – (3a – 1)x + 2a² – 3a – 2 = 0 менший від 2, а другий більший за 3.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –(3a – 1); c = 2a² – 3a – 2
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (3a – 1)² – 4(2a² – 3a – 2) = 9a² – 6a + 1 – 8a² + 12a + 8 = a² + 6a + 9 = (a + 3)².
③ Знаходимо корені рівняння:
x₁ = (–b – √D)/(2a) = (3a – 1 – √(a + 3)²)/2 = (3a – 1 – (a + 3))/2 = a – 2;
x₂ = (–b + √D)/(2a) = (3a – 1 + √(a + 3)²)/2 = (3a – 1 + (a + 3))/2 = 2a + 1.
④ За умовою один корінь має бути меншим від 2, а другий більший за 3. Розглянемо два випадки:
Перший випадок:
{a – 2 < 2, {a < 4,
{2a + 1 > 3, {a > 1.
Таким чином, a∈(1; 4).
Другий випадок:
{2a + 1 < 2, {a < 0,5,
{a – 2 > 3, {a > 5.
Таким чином, a∈∅.
Отже, a∈(1; 4). Найбільше ціле значення параметра дорівнює 3.
Відповідь: 3.
Далі розглянемо інші питання, які стосуватимуться повних квадратних рівнянь з параметрами.
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
👍11❤3
Визначте кількість усіх цілих значень a, за яких обидва корені рівняння x² + 4x – a² + 4a = 0 є від'ємними.
Anonymous Quiz
10%
1
14%
2
61%
3
12%
4
4%
5
❤1
За якого найменшого цілого значення a обидва корені рівняння x² – (3a – 10)x + 9a – 39 = 0 більші за 2?
Anonymous Quiz
10%
3
17%
4
29%
5
42%
6
2%
7
👌3
Визначте суму всіх цілих значень a, за яких один із коренів рівняння x² – (3a – 7)x + 2a² – 5a – 18 = 0 менший від 1, а другий більший за 4.
Anonymous Quiz
46%
7
11%
9
26%
12
13%
14
4%
15
👍6