⚡️ ЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Після того як ми розглянули ключові властивості і теореми нерівностей, ми можемо подивитися лінійні нерівності та системи лінійних нерівностей.

➡️ Нерівність з однією змінною — два вирази зі змінною (невідомим), поєднані знаком нерівності: «>», «<», «⩾», «⩽».
⏩ Приклади:
🟠 3x – 5 < 1, x² > x + 2, 4/x ⩾ 1 — нерівності з однією змінною;
🟠 2x + 3y > 4, x² + y² ⩽ 9 — нерівності з двома змінними.

➡️ Розв’язок нерівності — значення змінної (невідомого), при якому нерівність перетворюється в правильну числову нерівність.
⏩ Приклад. x = 3 є розв'язком нерівності x > 1, оскільки 3 > 1.

➡️ Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.
⏩ Приклад. Нерівність x² < 0 не має розв'язків, оскільки x² ⩾ 0 при будь-якому x.

🔍 Лінійні нерівності з однією змінною — це нерівності виду ax V b, де x — змінна, a і b — деякі числа, V — один із знаків «>», «<», «⩾», «⩽».
✈️ Розв’язки нерівностей прийнято позначати у вигляді числових проміжків:
🔍 x > a → x∈(a; +∞);
🔍 x < a → x∈(–∞; a);
🔍 x ⩾ a → x∈[a; +∞);
🔍 x ⩽ a → x∈(–∞; a].

➡️ Рівносильні перетворення нерівностей:
1️⃣ Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок, змінивши його знак на протилежний, отримаємо нерівність, рівносильну даній:
x – 3 > 7 → x > 7 + 3 → x > 10.
2️⃣ Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній:
2x < 8 → x < 8/2 → x < 4.
3️⃣ Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній:
–x ⩾ –6 → –x ⋅ (–1) ⩽ –6 ⋅ (–1) → x ⩽ 6.

🔍 Система лінійних нерівностей — це система виду:
{ a₁x V b₁,
{ a₂x V b₂,
де V — один із знаків «>», «<», «⩾», «⩽».
✈️ Щоб розв’язати систему нерівностей, треба кожну нерівність системи розв’язати окремо, а потім знайти розв’язок системи як переріз множин розв’язків цих нерівностей.
✈️ Можливі випадки розв’язування систем лінійних нерівностей дивіться на скриншоті.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog