⚡️ ЧИСЛОВІ НЕРІВНОСТІ. ВЛАСТИВОСТІ НЕРІВНОСТЕЙ

Повернімося до алгебри. Ми з вами останніми дивилися алгебраїчні рівняння. Тепер переходимо до алгебраїчних нерівностей та функцій. У цьому пості розглянемо числові нерівності та їх властивості, а також теореми додавання і множення нерівностей, оцінювання значення виразу.

➡️ Нерівності — два вирази, які з’єднані між собою знаками «>», «<», «⩾», «⩽». Якщо в нерівності обидві її частини є числовими виразами, то її називають числовою нерівністю.
⏩Числові нерівності бувають:
🟠правильними (істинними), наприклад: −2 > −4; 0,6 < 0,65; √5 > 2;
🟠неправильними (хибними), наприклад: −2 > −1; 0,6 < 0,55; √3 > 2.

🔍 Для порівняння чисел a і b використовують правила:
🔍 Якщо a > b, то a − b > 0, і навпаки, якщо a − b > 0, то a > b.
🔍 Якщо a < b , то a − b < 0, і навпаки, якщо a − b < 0, то a < b.
🔍 Якщо a = b, то a − b = 0, і навпаки, якщо a − b = 0, то a = b.

⏩Нерівності бувають строгими і нестрогими:
🟠знаки «>» і «<» є знаками строгих нерівностей;
🟠знаки «⩾» i «⩽» є знаками нестрогих нерівностей.

🔍 Розглянемо ключові властивості нерівностей:
🔍 якщо a < b, то b > a;
🔍 якщо a < b і b < c, то a < c. Тоді a < b < c;
🔍 якщо a < b і c — будь-яке число, то a + c < b + c;
🔍 якщо a < b і c — будь-яке число, то a − c < b − c;
🔍 якщо a < b і c — додатне число, то a ⋅ c < b ⋅ c;
🔍 якщо a < b і c — від’ємне число, то a ⋅ c > b ⋅ c;
🔍 якщо a < b і c — додатне число, то a/c < b/c;
🔍 якщо a < b і c — від’ємне число, то a/c > b/c;
🔍 якщо ab > 0 і a < b, то 1/a > 1/b.

⏩Подвійні нерівності мають широке практичне застосування, їх зазвичай використовують для оцінювання значень різних величин, таких як відстань, час, маса, ціна тощо.

🔍 Теореми нерівностей:
🔍 якщо a > b і c > d, то a + c > b + d;
🔍 якщо a > b, c > d і a, b, c, d — додатні числа, то a ⋅ c > b ⋅ d;
🔍 якщо a > b і a, b — додатні числа, то aⁿ > bⁿ, де n — натуральне число.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ ЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Після того як ми розглянули ключові властивості і теореми нерівностей, ми можемо подивитися лінійні нерівності та системи лінійних нерівностей.

➡️ Нерівність з однією змінною — два вирази зі змінною (невідомим), поєднані знаком нерівності: «>», «<», «⩾», «⩽».
⏩ Приклади:
🟠 3x – 5 < 1, x² > x + 2, 4/x ⩾ 1 — нерівності з однією змінною;
🟠 2x + 3y > 4, x² + y² ⩽ 9 — нерівності з двома змінними.

➡️ Розв’язок нерівності — значення змінної (невідомого), при якому нерівність перетворюється в правильну числову нерівність.
⏩ Приклад. x = 3 є розв'язком нерівності x > 1, оскільки 3 > 1.

➡️ Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.
⏩ Приклад. Нерівність x² < 0 не має розв'язків, оскільки x² ⩾ 0 при будь-якому x.

🔍 Лінійні нерівності з однією змінною — це нерівності виду ax V b, де x — змінна, a і b — деякі числа, V — один із знаків «>», «<», «⩾», «⩽».
✈️ Розв’язки нерівностей прийнято позначати у вигляді числових проміжків:
🔍 x > a → x∈(a; +∞);
🔍 x < a → x∈(–∞; a);
🔍 x ⩾ a → x∈[a; +∞);
🔍 x ⩽ a → x∈(–∞; a].

➡️ Рівносильні перетворення нерівностей:
1️⃣ Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок, змінивши його знак на протилежний, отримаємо нерівність, рівносильну даній:
x – 3 > 7 → x > 7 + 3 → x > 10.
2️⃣ Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній:
2x < 8 → x < 8/2 → x < 4.
3️⃣ Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній:
–x ⩾ –6 → –x ⋅ (–1) ⩽ –6 ⋅ (–1) → x ⩽ 6.

🔍 Система лінійних нерівностей — це система виду:
{ a₁x V b₁,
{ a₂x V b₂,
де V — один із знаків «>», «<», «⩾», «⩽».
✈️ Щоб розв’язати систему нерівностей, треба кожну нерівність системи розв’язати окремо, а потім знайти розв’язок системи як переріз множин розв’язків цих нерівностей.
✈️ Можливі випадки розв’язування систем лінійних нерівностей дивіться на скриншоті.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog