Математична хвилинка:
Укажіть вираз, тотожно рівний виразу a² + 9.
Укажіть вираз, тотожно рівний виразу a² + 9.
Anonymous Quiz
14%
(a + 3)²
35%
(a – 3)(a + 3)
7%
(a + 3)² + 6a
5%
a(a + 3)
39%
(a – 3)² + 6a
Математична хвилинка:
Знайдіть довжину кола, якщо площа круга, яке обмежена цим колом, дорівнює 16π см².
Знайдіть довжину кола, якщо площа круга, яке обмежена цим колом, дорівнює 16π см².
Anonymous Quiz
15%
32π
8%
24π
8%
16π
61%
8π
8%
4π
Forwarded from IHT
🌟 Запрошення для творчої молоді! 🌟
🔬 Інститут високих технологій Київського університету імені Тараса Шевченка оголошує конкурс «Створення установки для міждисциплінарної шкільної лабораторії»!
🎁 Участь в конкурсі дозволить вам не лише отримати цінні призи, але й відвідати захопливі екскурсії в Інституті та його партнерів, познайомитися із нашими студентами та відомими українськими вченими.
💡 Якщо ви мрієте про реалізацію амбітних ідей та високих технологій, приєднуйтесь до нас прямо зараз!
🔎 Детальніше про умови конкурсу на сайті Інституту високих технологій.
Наш сайт: https://iht.knu.ua/
Youtube: https://www.youtube.com/@IHT_family/videos
Телеграм: https://t.me/iht_univ
Не пропустіть свій шанс зробити важливий внесок у розвиток науки та освіти! 🚀🔬
🔬 Інститут високих технологій Київського університету імені Тараса Шевченка оголошує конкурс «Створення установки для міждисциплінарної шкільної лабораторії»!
🎁 Участь в конкурсі дозволить вам не лише отримати цінні призи, але й відвідати захопливі екскурсії в Інституті та його партнерів, познайомитися із нашими студентами та відомими українськими вченими.
💡 Якщо ви мрієте про реалізацію амбітних ідей та високих технологій, приєднуйтесь до нас прямо зараз!
🔎 Детальніше про умови конкурсу на сайті Інституту високих технологій.
Наш сайт: https://iht.knu.ua/
Youtube: https://www.youtube.com/@IHT_family/videos
Телеграм: https://t.me/iht_univ
Не пропустіть свій шанс зробити важливий внесок у розвиток науки та освіти! 🚀🔬
👍1
Математична хвилинка:
Арифметичну прогресію (aₙ) задано формулою n-го члена aₙ = 0,8n – 3. Знайдіть суму перших двадцяти членів цієї прогресії.
Арифметичну прогресію (aₙ) задано формулою n-го члена aₙ = 0,8n – 3. Знайдіть суму перших двадцяти членів цієї прогресії.
Anonymous Quiz
42%
108
17%
26,4
20%
54
12%
13
9%
135
Математична хвилинка:
Знайдіть довжину вектора (n→) = –2(a→), якщо a→(1; 2; 2).
Знайдіть довжину вектора (n→) = –2(a→), якщо a→(1; 2; 2).
Anonymous Quiz
7%
18
17%
2√5
50%
6
18%
–6
8%
12
👍1🕊1
🌟 Квадратні рівняння з параметром (частина 3)
Продовжуємо розбирати квадратні рівняння. Тут ми розглянемо неповні квадратні рівняння з параметром.
Для зручності і наочності використовуйте скриншоти.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння x² – a = 0 залежно від значень параметра a.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Перенесемо –a на ліву частину:
x² = a.
② Якщо a < 0, то x∈∅.
③ Якщо a = 0, то x² = 0, або x = 0.
④ Якщо a > 0, то x = ±√a.
Відповідь: якщо a∈(–∞; 0), то x∈∅; якщо a = 0, то x = 0; якщо a∈[0; +∞), то x = ±√a.
Приклад 2. Визначте найменше значення a, за якого рівняння ax(x – 1) = 4x має єдиний корінь.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо рівняння:
ax² – ax = 4x,
ax² – ax – 4x = 0,
ax² – (a + 4)x = 0,
② Розглянемо випадок a = 0, оскільки рівняння перетвориться на лінійне:
0x² – (0 + 4)x = 0;
–4x = 0,
x = 0 — єдиний корінь.
③ Винесемо x за дужки:
x(ax – (a + 4)) = 0,
x(ax – a – 4) = 0
④ Якщо a ≠ 0, то добуток дорівнює нулю, коли хоча б один з множників дорівнює нулю:
1) x = 0;
2) ax – a – 4 = 0,
ax = a + 4,
x = (a + 4)/a
⑤ Щоб рівняння мало єдиний корінь, потрібно знайти таке a, за якого маємо співпадіння коренів:
(a + 4)/a = 0,
a + 4 = 0,
a = –4.
Найменшим значенням параметра є –4.
Відповідь: –4.
Приклад 3. Визначте кількість усіх цілих значень a з проміжку [–5; 5], за яких рівняння (x – 2a)(x + 2a)/9 = a – 1 має дійсні корені.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо рівняння, використовуючи основну властивість пропорції:
(x – 2a)(x + 2a) = 9(a – 1).
x² – 4a² = 9a – 9.
x² = 4a² + 9a – 9.
② Рівняння має дійсні корені, якщо:
4a² + 9a – 9 ≥ 0,
③ Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння:
4a² + 9a – 9 = 0
D = 9² – 4 ∙ 4 ∙ (–9) = 81 + 144 = 225.
a₁ = (–9 – 15)/8 = –3
a₂ = (–9 + 15)/8 = 3/4
④ Визначаємо розв'язок графічним способом (див. скриншот):
a∈(–∞; –3]∪[3/4; +∞)
⑤ Оскільки розглядаються a∈[–5; 5], то цілими значеннями a є числа –5, –4, –3, 1, 2, 3, 4, 5 (вісім чисел).
Відповідь: 8.
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
Продовжуємо розбирати квадратні рівняння. Тут ми розглянемо неповні квадратні рівняння з параметром.
Для зручності і наочності використовуйте скриншоти.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння x² – a = 0 залежно від значень параметра a.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Перенесемо –a на ліву частину:
x² = a.
② Якщо a < 0, то x∈∅.
③ Якщо a = 0, то x² = 0, або x = 0.
④ Якщо a > 0, то x = ±√a.
Відповідь: якщо a∈(–∞; 0), то x∈∅; якщо a = 0, то x = 0; якщо a∈[0; +∞), то x = ±√a.
Приклад 2. Визначте найменше значення a, за якого рівняння ax(x – 1) = 4x має єдиний корінь.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо рівняння:
ax² – ax = 4x,
ax² – ax – 4x = 0,
ax² – (a + 4)x = 0,
② Розглянемо випадок a = 0, оскільки рівняння перетвориться на лінійне:
0x² – (0 + 4)x = 0;
–4x = 0,
x = 0 — єдиний корінь.
③ Винесемо x за дужки:
x(ax – (a + 4)) = 0,
x(ax – a – 4) = 0
④ Якщо a ≠ 0, то добуток дорівнює нулю, коли хоча б один з множників дорівнює нулю:
1) x = 0;
2) ax – a – 4 = 0,
ax = a + 4,
x = (a + 4)/a
⑤ Щоб рівняння мало єдиний корінь, потрібно знайти таке a, за якого маємо співпадіння коренів:
(a + 4)/a = 0,
a + 4 = 0,
a = –4.
Найменшим значенням параметра є –4.
Відповідь: –4.
Приклад 3. Визначте кількість усіх цілих значень a з проміжку [–5; 5], за яких рівняння (x – 2a)(x + 2a)/9 = a – 1 має дійсні корені.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо рівняння, використовуючи основну властивість пропорції:
(x – 2a)(x + 2a) = 9(a – 1).
x² – 4a² = 9a – 9.
x² = 4a² + 9a – 9.
② Рівняння має дійсні корені, якщо:
4a² + 9a – 9 ≥ 0,
③ Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння:
4a² + 9a – 9 = 0
D = 9² – 4 ∙ 4 ∙ (–9) = 81 + 144 = 225.
a₁ = (–9 – 15)/8 = –3
a₂ = (–9 + 15)/8 = 3/4
④ Визначаємо розв'язок графічним способом (див. скриншот):
a∈(–∞; –3]∪[3/4; +∞)
⑤ Оскільки розглядаються a∈[–5; 5], то цілими значеннями a є числа –5, –4, –3, 1, 2, 3, 4, 5 (вісім чисел).
Відповідь: 8.
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
👍3🔥1
Укажіть проміжок, якому належить значення a, за якого рівняння x² – 2a = 3 має один корінь.
Anonymous Quiz
13%
(–∞; –3)
50%
[–3; –1)
14%
[–1; 0)
12%
[0; 1)
11%
[1; +∞)
❤1👍1
Визначте суму всіх цілих значень a, за яких рівняння x² = 6a – a² має два дійсних корені.
Anonymous Quiz
15%
21
16%
10
18%
5
20%
6
31%
15
Визначте кількість усіх цілих значень a з проміжку [–5; 5], за яких рівняння x(ax + 9) = a²x має недодатні корені.
Anonymous Quiz
31%
6
27%
7
21%
8
13%
9
8%
10
Визначте добуток усіх цілих значень a, за яких рівняння (x – 3a)(x + 3a) = 33a + 10 не має дійсних коренів.
Anonymous Quiz
10%
–5
22%
6
31%
0
36%
–6
1%
5
🌟 Квадратні рівняння з параметром (частина 4)
Ми завершили неповні квадратні рівняння з параметрами. У цьому пості ми розглянемо повні квадратні рівняння з параметрами. Саме такі рівняння найчастіше зустрічалися на НМТ 2023.
Приклад 1. Визначте добуток усіх цілих значень a, за яких рівняння x² – 2ax + 16 = 0 має єдиний корінь.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –2a; c = 16
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (–2a)² – 4 ∙ 1 ∙ 16 = 4a² – 64.
③ Квадратне рівняння буде мати єдиний корінь, коли його дискримінант дорівнює нулю:
4a² – 64 = 0 |:4
a² – 16 = 0,
a² = 16,
a = ±4.
④ Визначаємо добуток знайдених значень параметра: –4 ∙ 4 = –16.
Відповідь: –16.
Приклад 2. Визначте найбільше ціле значення a, за якого рівняння x² – 8x + 2a = 0 має два дійсних корені.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = 8; c = 2a
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = 8² – 4 ∙ 1 ∙ 2a = 64 – 8a.
③ Квадратне рівняння буде мати два дійсні корені, коли його дискримінант є додатнім:
64 – 8a > 0
–8a > –64
a < 8.
④ Найбільшим цілим значенням a є число 7.
Відповідь: 7.
Приклад 3. Визначте кількість усіх цілих значень a, за яких рівняння x² – (a – 3)x + 4 = 0 не має дійсних коренів.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –(a – 3); c = 4
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (a – 3)² – 4 ∙ 1 ∙ 4 = a² – 6a + 9 – 16 = a² – 6a – 7.
③ Квадратне рівняння не буде мати дійсних коренів, коли його дискримінант є від'ємним:
a² – 6a – 7 < 0
a² – 6a – 7 = 0
a₁ = –1; a₂ = 7
Визначаємо графічним способом (сподіваюсь, ви дивились попередні пости та знаєте, як такі нерівності розв'язувати):
a∈(–1; 7).
④ Цілі значення параметра: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 — усього 7 значень.
Відповідь: 7.
Далі розглянемо інші питання, які стосуватимуться квадратних рівнянь з параметрами.
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
Ми завершили неповні квадратні рівняння з параметрами. У цьому пості ми розглянемо повні квадратні рівняння з параметрами. Саме такі рівняння найчастіше зустрічалися на НМТ 2023.
Приклад 1. Визначте добуток усіх цілих значень a, за яких рівняння x² – 2ax + 16 = 0 має єдиний корінь.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –2a; c = 16
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (–2a)² – 4 ∙ 1 ∙ 16 = 4a² – 64.
③ Квадратне рівняння буде мати єдиний корінь, коли його дискримінант дорівнює нулю:
4a² – 64 = 0 |:4
a² – 16 = 0,
a² = 16,
a = ±4.
④ Визначаємо добуток знайдених значень параметра: –4 ∙ 4 = –16.
Відповідь: –16.
Приклад 2. Визначте найбільше ціле значення a, за якого рівняння x² – 8x + 2a = 0 має два дійсних корені.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = 8; c = 2a
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = 8² – 4 ∙ 1 ∙ 2a = 64 – 8a.
③ Квадратне рівняння буде мати два дійсні корені, коли його дискримінант є додатнім:
64 – 8a > 0
–8a > –64
a < 8.
④ Найбільшим цілим значенням a є число 7.
Відповідь: 7.
Приклад 3. Визначте кількість усіх цілих значень a, за яких рівняння x² – (a – 3)x + 4 = 0 не має дійсних коренів.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння (умовно):
a = 1; b = –(a – 3); c = 4
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (a – 3)² – 4 ∙ 1 ∙ 4 = a² – 6a + 9 – 16 = a² – 6a – 7.
③ Квадратне рівняння не буде мати дійсних коренів, коли його дискримінант є від'ємним:
a² – 6a – 7 < 0
a² – 6a – 7 = 0
a₁ = –1; a₂ = 7
Визначаємо графічним способом (сподіваюсь, ви дивились попередні пости та знаєте, як такі нерівності розв'язувати):
a∈(–1; 7).
④ Цілі значення параметра: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 — усього 7 значень.
Відповідь: 7.
Далі розглянемо інші питання, які стосуватимуться квадратних рівнянь з параметрами.
💬 Задавайте свої питання в коментарях!
🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog
❤6👍1