⚡️ ТЕОРЕМА СИНУСІВ ТА ЇЇ НАСЛІДКИ

Теорему косинусів ми з вами подивилися. Вона використовується у довільному трикутнику. Розглянемо іншу не менш важливу теорему — теорему синусів.

🔍 Додаткові відомості з тригонометрії. Розглянемо, як працювати із синусами, косинусами і тангенсами тупих кутів:
✈️ sin (180° – α) = sin α;
✈️ cos (180° – α) = –cos α;
✈️ tg (180° – α) = –tg α;
✈️ sin (90° + α) = cos α;
✈️ cos (90° + α) = –sin α;
✈️ tg (90° + α) = –1/tg α.
Доведення цих формул буде, коли розглядатимемо в алгебрі тригонометрію.

➡️Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. (див. скриншот):

a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)

Доведення цієї теореми дивіться на скриншоті.

❓ У яких ситуаціях використовувати теорему косинусів?

1️⃣ Відомі два кути трикутника і одна сторона. Якщо у вас є інформація про величини двох кутів трикутника і довжині сторони, що лежить проти одного з цих кутів, теорема синусів дозволить знайти довжини двох інших сторін.

2️⃣ Відомі дві сторони трикутника і кут проти однієї з них. Коли відомі довжини двох сторін трикутника і величина кута, що лежить проти однієї з цих сторін, теорему синусів можна використовувати для знаходження величини кута, що лежить проти іншої відомої сторони, а потім і довжини третьої сторони.

✈️ Наслідки теореми синусів

🔍 У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона:

якщо α < β < γ, то a < b < c

🔍 У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут:

якщо a < b < c, то α < β < γ

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ ПЛОЩА ТРИКУТНИКА

Завершуємо вивчати трикутник. Сьогодні крайня тема — обчислення площ трикутників. Тема досить важлива, оскільки вона зустрічається практично в кожному варіанті іспиту.

❗️ Площа — фізична величина, що визначає розмір поверхні деякої геометричної фігури, виражена у квадратних одиницях.

🟠Приклад. Площа 12 см² означає, що геометрична фігура займає місце на поверхні у 12 квадратів зі стороною 1 см.

➡️Формули для обчислення площі трикутника.

1️⃣ За стороною і висотою. Площа S трикутника півдобутку сторони a та висоти h, проведеної до цієї сторони:

S = a ⋅ h/2

2️⃣ За двома сторонами і кутом між ними. Площа S трикутника півдобутку сторін a і b та на синус кута γ між ними:

S = a ⋅ b ⋅ sin(γ) / 2

3️⃣ За трьома сторонами (формула Герона). Площа S трикутника зі сторонами a, b, c можна знайти за формулою:

S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)],

де p = (a + b + c)/2 — півпериметр трикутника.

Доведення формули №2 і №3 дивіться на скриншотах.

✈️ Додаткові корисні формули.

🔍 Площа S прямокутного трикутника дорівнює півдобутку катетів a і b:
S = ab/2

🔍Площа S рівностороннього трикутника зі стороною a:
S = a²√3/4

🔍 Властивість відрізка, проведеного з вершини трикутника до його сторони. Якщо з вершини B трикутника ABC провести довільний відрізок BM до сторони AC, то площі отриманих трикутників ABM і BMC відносяться так, як відносяться відрізки AM і MC:

S(△ABM) / S(△BMC) = AM / MC

Доведення цієї формули дивіться на скриншоті.

⏩ Особливий випадок. Якщо BM — медіана △ABC, то:

S(△ABM) = S(△BMC)

🔍 Площі подібних трикутників. Площі подібних трикутників відносяться як коефіцієнт подібності у квадраті:

S(△A₁B₁C₁) / S(△A₂B₂C₂) = k²

Доведення цієї формули дивіться на скриншоті.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog