🌟 Запрошення для творчої молоді! 🌟

🔬 Інститут високих технологій Київського університету імені Тараса Шевченка оголошує конкурс «Створення установки для міждисциплінарної шкільної лабораторії»!

🎁 Участь в конкурсі дозволить вам не лише отримати цінні призи, але й відвідати захопливі екскурсії в Інституті та його партнерів, познайомитися із нашими студентами та відомими українськими вченими.

💡 Якщо ви мрієте про реалізацію амбітних ідей та високих технологій, приєднуйтесь до нас прямо зараз!

🔎 Детальніше про умови конкурсу на сайті Інституту високих технологій.

Наш сайт: https://iht.knu.ua/
Youtube: https://www.youtube.com/@IHT_family/videos
Телеграм: https://t.me/iht_univ

Не пропустіть свій шанс зробити важливий внесок у розвиток науки та освіти! 🚀🔬

🌟 Квадратні рівняння з параметром (частина 3)

Продовжуємо розбирати квадратні рівняння. Тут ми розглянемо неповні квадратні рівняння з параметром.

Для зручності і наочності використовуйте скриншоти.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння x² – a = 0 залежно від значень параметра a.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Перенесемо –a на ліву частину:
x² = a.
② Якщо a < 0, то x∈∅.
③ Якщо a = 0, то x² = 0, або x = 0.
④ Якщо a > 0, то x = ±√a.
Відповідь: якщо a∈(–∞; 0), то x∈∅; якщо a = 0, то x = 0; якщо a∈[0; +∞), то x = ±√a.

Приклад 2. Визначте найменше значення a, за якого рівняння ax(x – 1) = 4x має єдиний корінь.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо рівняння:
ax² – ax = 4x,
ax² – ax – 4x = 0,
ax² – (a + 4)x = 0,
② Розглянемо випадок a = 0, оскільки рівняння перетвориться на лінійне:
0x² – (0 + 4)x = 0;
–4x = 0,
x = 0 — єдиний корінь.
③ Винесемо x за дужки:
x(ax – (a + 4)) = 0,
x(ax – a – 4) = 0
④ Якщо a ≠ 0, то добуток дорівнює нулю, коли хоча б один з множників дорівнює нулю:
1) x = 0;
2) ax – a – 4 = 0,
ax = a + 4,
x = (a + 4)/a
⑤ Щоб рівняння мало єдиний корінь, потрібно знайти таке a, за якого маємо співпадіння коренів:
(a + 4)/a = 0,
a + 4 = 0,
a = –4.
Найменшим значенням параметра є –4.
Відповідь: –4.

Приклад 3. Визначте кількість усіх цілих значень a з проміжку [–5; 5], за яких рівняння (x – 2a)(x + 2a)/9 = a – 1 має дійсні корені.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Спростимо рівняння, використовуючи основну властивість пропорції:
(x – 2a)(x + 2a) = 9(a – 1).
x² – 4a² = 9a – 9.
x² = 4a² + 9a – 9.
② Рівняння має дійсні корені, якщо:
4a² + 9a – 9 ≥ 0,
③ Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння:
4a² + 9a – 9 = 0
D = 9² – 4 ∙ 4 ∙ (–9) = 81 + 144 = 225.
a₁ = (–9 – 15)/8 = –3
a₂ = (–9 + 15)/8 = 3/4
④ Визначаємо розв'язок графічним способом (див. скриншот):
a∈(–∞; –3]∪[3/4; +∞)
⑤ Оскільки розглядаються a∈[–5; 5], то цілими значеннями a є числа –5, –4, –3, 1, 2, 3, 4, 5 (вісім чисел).
Відповідь: 8.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog