⚡️ СПІВВІДНОШЕННЯ В ПРЯМОКУТНОМУ ТРИКУТНИКУ

Розглянемо досить непросту тему. У підручниках її називають або «Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику», або «Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику». Тема досить непопулярна, але її можна знайти в задачах НМТ.

➡️ Теореми. Якщо в прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), AC = a, BC = b, провести висоту CM = h, що ділить гіпотенузу AB = c на відрізки AM = aᶜ, BM = bᶜ, то мають місце наступні твердження (див. скриншот):

1️⃣ Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два подібних між собою прямокутних трикутники, кожний з яких подібний даному трикутнику:

△ABC ~ △ACM ~ △CBM

2️⃣ Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проєкцій катетів на гіпотенузу:

h² = aᶜ ⋅ bᶜ.

3️⃣ Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи та проєкції цього катета на гіпотенузу:

a² = aᶜ ⋅ c;
b² = bᶜ ⋅ c.

4️⃣ Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює добутку катетів, поділених на гіпотенузу цього трикутника:

h = a ⋅ b / c.

Доведення цих тверджень дивіться на скриншоті.

❓ Як у майбутньому зрозуміти, що в задачі треба використовувати саме ці формули?
Якщо ви бачите прямокутний трикутник і висоту, опущену на гіпотенузу, то з великою ймовірністю це буде задача на використання однієї з наведених вище формул.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ ТЕОРЕМА ПІФАГОРА

Теорема, що розглядається у цьому пості є, напевно, найважливішою серед усіх теорем шкільного курсу геометрії. У майбутньому величезна кількість завдань з різних тем буде розв'язуватися із застосуванням теореми Піфагора.

➡️ Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
⏩ Позначення. Якщо a і b — катети прямокутного трикутника, c — його гіпотенуза, то:

c² = a² + b²

⏩ Інші позначення. Остання рівність допомагає знайти гіпотенузу за допомогою двох інших катетів. Якщо потрібно знайти який-небудь катет за допомогою гіпотенузи й іншого катета, то:

a² = c² – b²;

b² = c² – a²

⏩Наслідок. Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник є прямокутним.
🟠 Приклад. Якщо сторони трикутника 8 см, 15 см і 17 см, то 17² = 8² + 15² → 289 = 64 + 225 → отже, трикутник зі сторонами 8 см, 15 см і 17 см є прямокутним.

Доведення теореми Піфагора дивіться на скриншоті.

🔍 Піфагорові трійки. Далеко не завжди у теоремі Піфагора отримуються цілі значення сторін. Наприклад, якщо катети дорівнюють 2 см і 3 см, то гіпотенуза за т. Піфагора дорівнює √13 см.
Існують особливі трійки цілих чисел, які є сторонами прямокутного трикутника.
🔍 Приклади:
✈️ 3, 4, 5 (єгипетський трикутник);
✈️ 5, 12, 13;
✈️ 8, 15, 17;
✈️ 7, 24, 25;
💬
Зверніть увагу! За допомогою цих трійок можна отримувати й інші трійки чисел. Наприклад, якщо кожне число трійки 3, 4, 5 помножити на 2, то отримаємо іншу трійку чисел: 6, 8, 10.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog