🔥 Розбиратимемо параметри

Привіт! Сьогодні продовжимо розбирати параметри. На черзі — квадратні рівняння з параметрами. Ці завдання найчастіше зустрічалися на НМТ 2023, тому приділимо до них найбільше уваги.

👀 Якщо залишилися запитання з попередніх тем, задавайте їх у коментарі

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

❗️Вийшов демонстраційний варіант НМТ 2024 з математики 🥳

Посилання на варіанти з усіх предметів: https://testportal.gov.ua/demonstratsijni-varianty-nmt-2024/

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

Перші враження демонстраційного варіанту:
— формат такий самий, як на НМТ 2023;
— більшість завдань демонстраційного варіанту складаються з завдань ЗНО попередніх років та НМТ 2023;
— задача №21 на вектори (не стереометрична, як торік).

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⭐️ Квадратні рівняння з параметром (частина 1)

Щоб розв'язувати квадратні рівняння з параметром, потрібно вміти розв'язувати звичайні квадратні рівняння без параметрів. Нагадаю ключові способи розв'язання цих рівнянь.

➊ Рівняння виду ax² + c = 0

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 4x² – 25 = 0.
Розв'язання. Спосіб ①:
4x² – 25 = 0;
4x² = 25;
x² = 25/4;
x = ±5/2.
Спосіб ②:
1) Використаємо формулу a² – b² = (a – b)(a + b):
(2x – 5)(2x + 5) = 0
2) Добуток множників дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:
2x – 5 = 0 або 2x + 5 = 0;
2x = 5 або 2x = –5;
x = 5/2 або x = –5/2.
Відповідь: ±2,5.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 3x² – 21 = 0.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
3x² – 21 = 0;
3x² = 21;
x² = 7;
x = ±√7.
Відповідь: ±√7.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння x² + 16 = 0.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
x² + 16 = 0;
x² = –16.
Вираз x² завжди є невід'ємним, тому ця рівність є неправильною.
Відповідь: дійсних коренів немає.


➋ Рівняння виду ax² + bx = 0

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння 3x² – 18x = 0.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
1) Винесемо спільний множник 3x:
3x(x – 6) = 0
2) Добуток множників дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:
3x = 0 або x – 6 = 0
x = 0 або x = 6
Відповідь: 0; 6.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⭐️ Квадратні рівняння з параметром (частина 2)

Продовжуємо розв'язувати звичайні квадратні рівняння.

➌ Рівняння виду ax² + bx + c = 0

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 2x² + 9x – 5 = 0.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння:
a = 2; b = 9; c = –5
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = 9² – 4 ∙ 2 ∙ (–5) = 81 + 40 = 121.
③ Знаходимо корені рівняння:
x₁ = (–b – √D)/(2a) = (–9 – √121)/(2 ∙ 2) = (–9 – 11)/4 = –5
x₂ = (–b + √D)/(2a) = (–9 + √121)/(2 ∙ 2) = (–9 + 11)/4 = 0,5
Відповідь: –5; 0,5.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 9x² – 12x + 4 = 0.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння:
a = 9; b = –12; c = 4
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = (–12)² – 4 ∙ 9 ∙ 4 = 144 – 144 = 0.
③ Знаходимо корені рівняння:
x = (–b)/(2a) = –(–12)/(2 ∙ 9) = 12/18 = 2/3
Відповідь: 2/3.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння 4x² + 8x + 13 = 0.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Визначимо коефіцієнти рівняння:
a = 4; b = 8; c = 13
② Визначимо дискримінант рівняння:
D = b² – 4ac = 8² – 4 ∙ 4 ∙ 13 = 64 – 208 = –144.
③ Оскільки D < 0, то формулу для коренів квадратного рівняння використати неможливо, і рівняння не має дійсних коренів
Відповідь: дійсних коренів немає.


➍ Теорема Вієта

Якщо x₁ і x₂ — корені рівняння ax² + bx + c = 0, то:
x₁ + x₂ = –b/a
x₁ ∙ x₂ = c/a

Приклад 4. Знайдіть суму коренів рівняння x² + 4x – 45 = 0.
Розв'язання. За т. Вієта: x₁ + x₂ = –4/1 = –4
Відповідь: –4.

Приклад 5. Знайдіть добуток коренів рівняння 2x² + 5x – 12 = 0.
Розв'язання. За т. Вієта: x₁ ∙ x₂ = –12/2 = –6.
Відповідь: –6.

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння x² – 7x + 10 = 0.
Розв'язання. За т. Вієта:
x₁ + x₂ = –(–7) = 7;
x₁ ∙ x₂ = 10.
Починаємо підбір коренів з добутка! Отримати при множенні 10 можна двома способами: 1 ∙ 10 або 2 ∙ 5. Оскільки сума коренів дорівнює 7, то маємо обрати другий варіант.
Отже, x₁ = 2 і x₂ = 5.
Відповідь: 2 і 5.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog