⚡️ СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА. НЕРІВНІСТЬ ТРИКУТНИКА

Напевно, сьогодні одна з найважливіших тем геометрії, оскільки величезна кількість задач на знаходження кутів зводяться до теореми про суму кутів трикутника.

➡️ Теорема про суму кутів трикутника: сума кутів трикутника дорівнює 180°:

Для трикутника ABC маємо: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

⏩Доведення теореми (див. скриншот).
1️⃣У ΔABC через вершину B проведемо KM || AC.
2️⃣∠BAC = ∠ABK як внутрішні різносторонні кути при січній AB.
3️⃣∠ACB = ∠CBM як внутрішні різносторонні кути при січній BC.
4️⃣∠ABK, ∠ABC і ∠CBM складають розгорнутий кут, тому ∠ABK + ∠ABC + ∠CBM = 180°.
5️⃣Отже, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.⏪

🟠Наслідок. Серед кутів трикутника принаймні два кути гострі.

✈️ Теорема про суму кутів трикутника дає змогу визначити зв'язки між кутами в особливих видах трикутників.

🔍 Рівносторонній трикутник. Нехай ∠A = ∠B = ∠C = x. Тоді ∠A + ∠B + ∠C = 180° → x + x + x = 180° → 3x = 180° → x = 60°. Отже, ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

🔍 Прямокутний трикутник. Нехай у ΔABC ∠A = 90°. Тоді ∠A + ∠B + ∠C = 180° → 90° + ∠B + ∠C = 180° → ∠B + ∠C = 90°.

🔍 Рівнобедрений трикутник. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні: якщо у ΔABC AB = BC, то ∠A = ∠С. Тоді ∠A = ∠С = (180° – ∠B)/2.

🔍 Зовнішній кут трикутника — це кут, суміжний із кутом цього трикутника.
🔍Вигляд: [див скриншот].
🔍Теорема: зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним.
🔍Приклад: якщо ∠BCM – зовнішній кут ΔABC, то ∠BCM =∠A + ∠B.
✈️Доведення теореми (див. скриншот):
1️⃣∠ACB = 180° – (∠A + ∠B).
2️⃣∠BCM = 180° – ∠ACB = 180° – (180° – (∠A + ∠B)) = 180° – 180° + ∠A + ∠B = ∠A + ∠B.

✈️ Нерівність трикутника: кожна сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін і більша за їх різницю. Це теорема про можливість існування трикутника.
🔍Приклад: якщо a, b, c — сторони трикутника, то:
✈️|b – c| < a < b + c;
✈️|a – c| < b < a + c;
✈️|a – b| < c < a + b.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog