⚡️ РІВНЯННЯ ВИЩИХ СТЕПЕНІВ

У цьому пості розглянемо ключові моменти, які необхідно знати з теми рівнянь вищих степенів. Це вважається складною темою, оскільки немає одного способу їх розв'язань. Подивимось на основні шкільні способи розв'язання таких рівнянь.

➡️Найпростіші рівняння вищих степенів. Розглянемо рівняння виду xⁿ = a, де n — натуральне число, n > 1. Для цього виду існують такі ситуації:
1️⃣Непарний показник степеня:

якщо xⁿ = a, то x = ⁿ√a при всіх a

2️⃣Парний показник степеня:

якщо xⁿ = a і a > 0, то x = ±ⁿ√a

якщо xⁿ = a і a = 0, то x = 0

якщо xⁿ = a і a < 0, то дійсних коренів немає

➡️Спосіб розкладання на множники. Для рівнянь, які можна перетворити на вигляд f(x) ⋅ g(x) ⋅ q(x) ⋅ ... = 0 шляхом розкладання їх лівої частини на множники, то спрацює правило добутку, що дорівнює 0: якщо добуток кількох множників дорівнює 0, то хоча б один із них дорівнює 0, тобто

f(x) = 0, або g(x) = 0, або q(x) = 0, ...

➡️Уведення заміни. Існують такі рівняння, у яких можна замінити певний вираз на нову змінну. Зазвичай це видно, коли повторюється певний вираз у рівнянні.
⏩Приклади:
🟠у рівнянні ax⁴ + bx² + c = 0 (його називають біквадратним рівнянням) роблять заміни: x² = t, x⁴ = t² — рівняння набуває вигляду at² + bt + c = 0;
🟠у рівнянні (x² – 2x)² – 2(x² – 2x) – 3 = 0 можна зробити заміни: (x² – 2x) = t, (x² – 2x)² = t² — рівняння набуває вигляду t² – 2t – 3 = 0;
🟠у рівнянні (x² – x)(x² – x – 5) = 6 можна зробити заміни: (x² – x) = t, (x² – x – 5) = t – 5 — рівняння набуває вигляду t(t – 5) = 6.

✈️ Зверніть увагу! Після введення заміни і знаходження t не забуваємо повернутися до x, виконавши обернену заміну.

🔥 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog