⭐️ Системи лінійних нерівностей з параметром (частина 1)

Продовжуємо далі розглядати нерівності. Наступним кроком є системи лінійних нерівностей. Нагадаю, як їх розв'язувати (поки без параметрів). Для зручності і наочності використовуйте скриншоти.

Щоб розв'язати систему нерівностей, потрібно визначити, за яких значень x одночасно виконуються обидві нерівності.

Приклад 1. Розв'яжіть систему нерівностей:
{x > 2,
{x ≤ 9.
Розв'язання. Потрібно визначити всі такі x, за яких одночасно x > 2 і x ≤ 9. Не важко здогадатися, що це ті числа, які більші за 2 і не більші за 9. Це записується у вигляді проміжку: x∈(2; 9].
Для наочності виконують графічне розв'язання систем нерівностей (див. скриншот).
Відповідь: x∈(2; 9].

Приклад 2. Розв'яжіть систему нерівностей:
{–3x ≥ 12,
{x + 2 < 5.
Розв'язання. Потрібно спростити обидві нерівності, що входять у систему:
1) –3x ≥ 12,
x ≤ 12/–3 (пам'ятайте про зміну знака нерівності),
x ≤ –4;
2) x + 2 < 5,
x < 5 – 2,
x < 3.
Маємо спрощену систему:
{x ≤ –4,
{x < 3.
Розв'язком нерівності є проміжок (–∞; –4] (див. рисунок).
Відповідь: x∈(–∞; –4].

Приклад 3. Розв'яжіть систему нерівностей:
{2x + 3 < 4x – 5,
{4 ≥ x.
Розв'язання. Спрощуємо систему:
1) 2x + 3 < 4x – 5,
2x – 4x < –5 – 3,
–2x < –8,
x > 4;
2) 4 ≥ x,
x ≤ 4.
Маємо систему:
{x > 4,
{x ≤ 4.
Значення x не може бути одночасно більше 4, і не більше 4, отже, розв'язків немає.
Відповідь: x∈∅.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🌟 Системи лінійних нерівностей з параметром (частина 2)

Тут розглянемо найпростіші системи лінійних нерівностей з параметром. Для розв'язання таких систем потрібно розглядати різноманітні випадки розташування параметра на числовій осі.

Для зручності і наочності використовуйте скриншоти.

Приклад 1. Розв'яжіть систему нерівностей залежно від значень параметра a:
{x ≥ a,
{x < 2.
Розв'язання. Для розв'язання завдання потрібно розглянути три випадки: коли число a розташовано лівіше від 2; коли число a співпадає з числом 2; коли число a розташовано правіше від 2:
① Якщо a < 2, то x∈[a; 2).
② Якщо a = 2, то x∈∅.
③ Якщо a > 2, то x∈∅.
Відповідь: якщо a∈(–∞; 2), то x∈[a; 2); якщо a∈[2; +∞), то x∈∅.

Приклад 2. За якого найбільшого значення a має хоча б один розв'язок система нерівностей:
{x ≤ 3,
{x ≥ a?
Розв'язання. Розглянемо три випадки:
① Якщо a < 3, то x∈[a; 3].
② Якщо a = 3, то x∈{3}.
③ Якщо a > 3, то x∈∅.
④ Таким чином, найбільшим значенням a є число 3, за якого задана система нерівностей має хоча б один розв'язок.
Відповідь: 3.

Приклад 3. За якого найбільшого значення a не має розв'язків система нерівностей:
{x > 4,
{x < a?
Розв'язання. Розглянемо три випадки:
① Якщо a < 4, то x∈∅.
② Якщо a = 4, то x∈∅.
③ Якщо a > 4, то x∈(a; +∞).
④ Таким чином, найбільшим значенням a є число 4, за якого задана система нерівностей не має розв'язків.
Відповідь: 4.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🔥 Розпорядок дня

Вітаю! Сьогодні планую завершити системи лінійних нерівностей з параметром.

❓Якщо залишились складнощі із попередніми завданнями, задавайте свої питання в коментарях👇

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🌟 Системи лінійних нерівностей з параметром (частина 3)

Продовжуємо розглядати найпростіші системи лінійних нерівностей з параметром. У цьому пункті буде наведено інші питання, що можуть стосуватися систем нерівностей з параметром.

Для зручності і наочності використовуйте скриншоти.

Приклад 1. За якого найбільшого значення a множиною розв'язків системи нерівностей:
{x > –1,
{x ≥ a
є проміжок (–1; +∞)?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Якщо a < –1, то x∈(–1; +∞).
② Якщо a = –1, то x∈(–1; +∞).
③ Якщо a > –1, то x∈[a; +∞).
Таким чином, x∈(–1; +∞), якщо a ≤ –1. Найбільше значення параметра a дорівнює –1.
Відповідь: –1.

Приклад 2. Визначте ціле значення a, за якого множина розв'язків системи нерівностей:
{x ≥ 7,
{x < a
містить чотири цілих розв'язки.
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Якщо a < 7, то x∈∅.
② Якщо a = 7, то x∈∅.
③ Якщо a > 7, то x∈[7; a).
Таким чином, для розв'язку x∈[7; a), що містить чотири цілих числа (7, 8, 9 і 10), значення параметра a має дорівнювати 11.
Відповідь: 11.

Приклад 3. За якого цілого значення a найменшим цілим розв'язком системи нерівностей:
{x ≥ 6,
{x > a
є число 9?
Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Якщо a < 6, то x∈[6; +∞).
② Якщо a = 6, то x∈(6; +∞).
③ Якщо a > 6, то x∈(a; +∞).
Таким чином, якщо a ≥ 6, то маємо розв'язки виду (a; +∞). Щоб задана система нерівностей мала найменший цілий розв'язок число 9, то a = 8, бо маємо проміжок (8; +∞).
Відповідь: 8.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog