❗️ Форма з параметрами

👋 Усіх вітаю! Створив GoogleForm, у яку включено всі ключові завдання з лінійних рівнянь, нерівностей та їх систем з параметрами. Обмеження часу немає. Усе безкоштовно.

👉 Для того щоб перейти на форму, натисніть сюди: перейти на форму.

😎 Пройшовши гугл-форму, ви зможете прокачати базові навички з лінійних рівнянь, нерівностей та їх систем з параметрами.

🔥 Завтра зробимо розбір усіх завдань та подивимось загальну статистику помилок.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

🧐 Форма з параметрами

Усіх вітаю! Сьогодні планую зробити розбір усіх завдань з GoogleForm, доступ до якої надав учора. Бачу, що її надіслали менше 30 людей 😢

Чи потрібно продовжувати такий формат тренування?
👍 — Так
😐 — Ні

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

❗️Розбір завдань з параметрами робитимемо сьогодні

За вашими побажаннями розбір завдань з параметрами будемо робити сьогодні. На каналі буде наведено по черзі розв'язки кожного завдання з GoogleForm.

Хто не пройшов і планує пройти GoogleForm, можете пізніше подивитися розв'язки цих завдань.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Розбір завдання №1 з параметрами

🔍 Завдання 1. Розв’яжіть нерівність ax – 3 < 5 при a = –2.
А (–∞; –4)
Б (–∞; 4)
В (–∞; –1)
Г (4; +∞)
Д (–4; +∞)

Розв'язання. Слід підставити значення a = –2 у нерівність та її розв'язати:
–2x – 3 < 5;
–2x < 5 + 3;
–2x < 8;
x > –4.
Зауважте: при діленні на (–2) знак нерівності змінюється на протилежний.
Отже, x∈(–4; +∞).

Відповідь: Д.

👀 Для зручності та наочності використовуйте скриншот розв'язання завдання.

💬 Діліться своїми враженнями та питаннями в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Розбір завдання №2 з параметрами

🔍 Завдання 2. Укажіть рівняння, яке має безліч коренів при a = –4.
А 4ax = –16
Б (a + 4)x = a – 4
В x – a = 8
Г ax – 12 = 3a – 4x
Д (a – 1)x = 4(1 – a)

Розв'язання. Рівняння буде мати безліч коренів, коли воно не залежіть від x, і рівність завжди є правильною. Перевіримо кожен варіант відповіді, підставляючи a = –4.
А: 4 ∙ (–4)x = –16;
–16x = –16;
x = 1
Б: (–4 + 4)x = –4 – 4
0x = –8 — неправильна рівність, отже, коренів немає.
В: x – (–4) = 8;
x + 4 = 8;
x = 4.
Г: –4x – 12 = 3 ∙ (–4) – 4x;
–4x + 4x = –12 + 12;
0 = 0 — правильна рівність, отже, коренів є безліч.
Д: (–4 – 1)x = 4(1 – (–4));
–5x = 20;
x = –4.
Отже, рівняння у варіанті Г має безліч коренів.

Відповідь: Г.

👀 Для зручності та наочності використовуйте скриншот розв'язання завдання.

💬 Діліться своїми враженнями та питаннями в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Розбір завдання №3 з параметрами

🔍 Завдання 3. Укажіть проміжок, якому належить значення параметра a, за якого система рівнянь не має розв’язків:
{3x – 4y = 6,
{ax + 2y = 3.

А (–∞; –3)
Б [–3; –1)
В [–1; 0)
Г [0; 1)
Д [1; +∞)

Розв'язання. Використаємо метод додавання, попередньо підготував до цього систему.
① Помножимо друге рівняння системи на 2:
{3x – 4y = 6,
{2ax + 4y = 6.
② Виконаємо почленне додавання обох рівнянь системи та виразимо x:
(3x – 2ax) + (–4y + 4y) = 6 + 6;
3x – 2ax = 12;
(3 – 2a)x = 12;
③ Якщо 3 – 2a = 0, або a = –1,5, то:
0x = 12 — неправильна рівність, отже, розв'язків немає.
④ При всіх інших значеннях a система рівнянь буде мати розв'язок. Число –1,5 належить проміжку [–3; –1).

Відповідь: Б.

👀 Для зручності та наочності використовуйте скриншот розв'язання завдання.

💬 Діліться своїми враженнями та питаннями в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Розбір завдання №4 з параметрами

🔍 Завдання 4. Визначте значення a, за якого рівняння x – 1 = (ax + 6x – 4)/a² не має коренів.

Розв'язання. Тут багато респондентів відповіло, що при a = 0 задане рівняння не матиме коренів. Але при a = 0 маємо некоректний вираз, отже, рівняння просто не має сенсу.
Виконаємо наступні дії:
① Помножимо обидві частини рівняння на a², де a ≠ 0, і виразимо x:
(x – 1)a² = ax + 6x – 4;
a²x – a² = ax + 6x – 4;
a²x – ax – 6x = a² – 4;
(a² – a – 6)x = a² – 4.
② Визначимо ключові значення параметра a:
a² – a – 6 = 0
a₁ = –2; a₂ = 3.
③ Якщо a = –2, то:
((–2)² – (–2) – 6)x = (–2)² – 4;
0 = 0 — правда, отже, рівняння має безліч коренів.
④ Якщо a = 3, то:
(3² – 3 – 6)x = 3² – 4;
0 = 5 — брехня, отже, рівняння не має коренів.
⑤ При всіх інших a маємо корінь.

Відповідь: 3.

👀 Для зручності та наочності використовуйте скриншот розв'язання завдання.

💬 Діліться своїми враженнями та питаннями в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Розбір завдання №5 з параметрами

🔍 Завдання 5. Знайдіть усі значення a, за яких система рівнянь має безліч розв’язків. Якщо таке значення єдине, запишіть його у відповідь. Якщо таких значень кілька, то у відповідь запишіть їхню суму.
{4x – ay = a + 13,
{(a – 1)x – 3y = –10.

Розв'язання. Наведемо розв'язання, яке відрізняється від того, що на скриншоті. Система лінійних рівнянь буде мати безліч розв'язків, коли всі її коефіцієнти є пропорційними.
{a₁x + b₁y = c₁,
{a₂x + b₂y = c₂.
Якщо a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, то система буде мати безліч розв’язків.

Тоді в нашому випадку:
4/(a – 1) = –a/–3 = (a + 13)/–10.
Неважко визначити, що при a = –3 ці рівності виконуються.
(Якщо важко, визначайте a, використовуючи основну властивість пропорції, обираючи будь-яку пару виразів.)

Відповідь: –3.

👀 Для зручності та наочності використовуйте скриншот розв'язання завдання.

💬 Діліться своїми враженнями та питаннями в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Розбір завдання №6 з параметрами

🔍 Завдання 6. Визначте всі значення a, за яких нерівність 2x + a² < a²x + a не має розв’язків. Якщо таке значення єдине, запишіть його у відповідь. Якщо таких значень кілька, то у відповідь запишіть їх добуток.

Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Виразимо x:
2x + a² < a²x + a;
2x – a²x < a – a²;
(2 – a²)x < a – a².
② Визначимо ключові значення параметра a:
2 – a² = 0;
a² = 2;
a₁ = –√2; a₂ = √2.
③ Якщо a = –√2, то:
(2 – (–√2)²)x < –√2 – (–√2)²;
0 < –√2 – 2 — неправда, отже, нерівність не має розв'язків.
④ Якщо a = √2, то:
(2 – (√2)²)x < √2 – (√2)²;
0 < √2 – 2 — неправда, отже, нерівність не має розв'язків.
⑤ При всіх інших a нерівність має розв'язки. Визначимо добуток знайдених значень параметра:
–√2 ∙ √2 = –2.

Відповідь: –2.

👀 Для зручності та наочності використовуйте скриншот розв'язання завдання.

💬 Діліться своїми враженнями та питаннями в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Розбір завдання №7 з параметрами

🔍 Завдання 7. Знайдіть найбільше значення a, за якого розв’язком нерівності (ax + 3)/2 ≥ a² – 4x є проміжок [3; +∞).

Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Виразимо x, використовуючи основну властивість пропорції:
ax + 3 ≥ 2(a² – 4x);
ax + 3 ≥ 2a² – 8x;
ax + 8x ≥ 2a² – 3;
(ax + 8)x ≥ 2a² – 3.
② Щоб нерівність могла мати розв’язок [3; +∞), потрібно, щоб вираз a + 8 > 0, або a > –8:
x ≥ (2a² – 3)/(ax + 8)
x∈[(2a² – 3)/(ax + 8); +∞).
③ Для одержання розв’язку [3; +∞) потрібно розв'язати рівняння:
(2a² – 3)/(ax + 8) = 3;
2a² – 3 = 3(ax + 8);
2a² – 3 = 3ax + 24;
2a² – 3ax – 27 = 0;
a₁ = –3; a₂ = 4,5.
④ У відповідь потрібно записати найбільше значення a, тому a = 4,5.

Відповідь: 4,5.

👀 Для зручності та наочності використовуйте скриншот розв'язання завдання.

💬 Діліться своїми враженнями та питаннями в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Розбір завдання №8 з параметрами

🔍 Завдання 8. Визначте найменше ціле значення a, за якого рівняння a(x – a) – 9 = 4x + 6a має невід’ємний корінь.

Розв'язання. Виконаємо наступні дії:
① Виразимо x:
ax – a² – 9 = 4x + 6a;
ax – 4x = a² + 6a + 9;
(a – 4)x = (a + 3)².
② Якщо a = 4, то:
(4 – 4)x = (4 + 3)²;
0 = 49 — неправда, отже, коренів немає.
③ Якщо a ≠ 4, то:
x = (a + 3)²/(a – 4).
④ Потрібно визначити значення a, за яких маємо невід'ємні корені, тому розв'язуємо нерівність методом інтервалів:
(a + 3)²/(a – 4) ≥ 0;
ОДЗ: a ≠ 4;
Нулі: (a + 3)² = 0; a = –3
Визначаємо проміжки та їхні знаки (див. скриншот).
Таким чином, a∈(4; +∞)∪{–3}. Найменше значення параметра дорівнює –3.
Будьте уважні: a = –3 як окрема точка задовольняє задану нерівність, бо дріб буде дорівнювати 0.
Відповідь: –3.

👀 Для зручності та наочності використовуйте скриншот розв'язання завдання.

💬 Діліться своїми враженнями та питаннями в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📚 Сьогодні розв'язуватимемо тестові задачі

Вітаю! Сьогодні порозв'язуємо тестові задачі з різних тем як з алгебри, так і з геометрії.

🔥 Приєднуйтесь до нас та розвивайте свої математичні навички разом з нами!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog