❗️ Формули скороченого множення — це одні з перших формул, доступних у довідкових матеріалах НМТ з математики.

Файл із трьома сторінками довідкових матеріалів, які будуть доступні під час іспиту, надсилаю вам для ознайомлення.

📱 Зберігайте собі та користуйтеся.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ: МЕТОД ВИНЕСЕННЯ

Останнім часом ми з вами розкривали різні дужки. Тут ми будемо не розкривати їх, а, навпаки, робити їх. Розглянемо ключові методи, які дозволяють це зробити.

➡️Винесення спільного множника за дужки. Він полягає у представленні виразу у вигляді добутку, винісши спільний множник усіх доданків за дужки.

⏩Приклади:
🟠3x – 12 = 3 ⋅ x – 3 ⋅ 4 = 3(x – 4);
🟠a² + ab = a ⋅ a + a ⋅ b = a(a + b);
🟠4x³y – 6x²y² = 2x²y ⋅ 2x – 2x²y ⋅ 3y = 2x²y(2x – 3y);
🟠10a³ + 25a – 15a² = 5a ⋅ 2a² + 5a ⋅ 5 – 5a ⋅ 3a = 5a(2a² + 5 – 3a).

❓ Як перевірити правильність винесення?
Якщо ви сумніваєтеся, чи правильно зробили винесення, ви завжди можете це перевірити. Для цього потрібно просто розкрити дужки. Якщо ви повернулися до початкового прикладу, тоді ви зробили все правильно.
Приклад: якщо 4x³y – 6x²y² = 2x²y(2x – 3y), то 2x²y(2x – 3y) = 2x²y ⋅ 2x – 2x²y ⋅ 3y = 4x³y – 6x²y² — співпало.

➡️Приклади розв'язання завдань:

1️⃣Розкладіть на множники:
1) 2a(a + 3) – 5(a + 3);
2) (x – 2)² + (x – 2).
Розв'язання. 1) 2a(a + 3) – 5(a + 3) = (a + 3)(2a – 5).
2) (x – 2)² + (x – 2) = (x – 2)(x – 2) + 1(x – 2) = (x – 2)((x – 2) + 1) = (x – 2)(x – 1).

2️⃣Обчисліть: 27 ⋅ 36 + 73 ⋅ 36.
Розв'язання. 33 ⋅ 36 + 67 ⋅ 36 = 36(33 + 67) = 36 ⋅ 100 = 3600
Відповідь: 3600.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ: МЕТОД ГРУПУВАННЯ

Продовжуємо розглядати методи, які допомагають з многочленів робити дужки, які множаться. Наступним методом є групування: він не є популярним і зазвичай використовується, коли багато доданків.

➡️Групування. Для розкладання многочленів на множники використовується парна кількість доданків (від 4-х і більше):
1️⃣Розбиваємо многочлен на групи, щоб у кожній групі був спільний множник.
2️⃣Виносимо спільний множник з кожної групи.
3️⃣Виносимо отриманий у дужках спільний множник.

⏩Приклади:
🟠x³ – 4x² + 3x – 12 = (x³ – 4x²) + (3x – 12) = x²(x – 4) + 3(x – 4) = (x – 4)(x² + 3);
🟠ab + 2b – 5a – 10 = (ab + 2b) – (5a + 10) = b(a + 2) – 5(a + 2) = (a + 2)(b – 5).

Зверніть увагу! Коли записуємо в дужках пари, перевіряємо правильність знаків у дужках, особливо коли перед дужками стоїть знак "–".

➡️Приклади розв'язання завдань:

1️⃣Розкладіть на множники: x² – 4x – 12.
Розв'язання. Подамо –4x у вигляді 2x – 6x, щоб використати метод групування:
x² – 4x – 12 = x² + 2x – 6x – 12 = (x² + 2x) – (6x + 12) = x(x + 2) – 6(x + 2) = (x + 2)(x – 6).
Відповідь: (x + 2)(x – 6).

2️⃣Обчисліть: 36 ⋅ 57 + 64 ⋅ 57 – 36 ⋅ 27 – 64 ⋅ 27.
Розв'язання. Використаємо метод групування:
(36 ⋅ 57 + 64 ⋅ 57) – (36 ⋅ 27 + 64 ⋅ 27) = 57(36 + 64) – 27(36 + 64) = (36 + 64)(57 – 27) = 100 ⋅ 30 = 3000
Відповідь: 3000.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ: ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ

Продовжуємо розглядати методи, які допомагають з многочленів робити дужки, які множаться. Ще одним способом розкладання многочленів на множники є використання формул скороченого множення. Тут ми будемо використовувати ці формули у зворотній бік.

➡️Формули скороченого множення. Для розкладання многочленів на множники можна використовувати декілька формул скороченого множення.

1️⃣Різниця квадратів. Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці та суми цих виразів:

a² – b² = (a – b)(a + b)

⏩Приклади застосування:
🟠m² – 16 = m² – 4² = (m – 4)(m + 4);
🟠4x² – 25y² = (2x)² – (5y)² = (2x – 5y)(2x + 5y);
🟠(6a + b)² – 9a² = (6a + b)² – (3a)² = ((6a + b) – 3a) ⋅ ((6a + b) + 3a) = (3a + b)(9a + b);
🟠1003² – 997² = (1003 – 997)(1003 + 997) = 6 ⋅ 2000 = 12000.

2️⃣Квадрат суми. Сума квадратів двох виразів та їх подвоєного добутку дорівнює квадрату суми цих виразів:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

3️⃣Квадрат різниці. Сума квадратів двох виразів та різниця подвоєного добутку цих виразів дорівнює квадрату різниці цих виразів:

a² – 2ab + b² = (a – b)²

⏩Приклади застосування:
🟠m² + 6m + 9 = m² + 2 ⋅ m ⋅ 3 + 3² = (m + 3)²;
🟠9x² – 24xy + 16y² = (3x)² – 2 ⋅ 3x ⋅ 4y + (4y)² = (3x – 4y)²;
🟠37² + 74 ⋅ 63 + 63² = 37² + 2 ⋅ 37 ⋅ 63 + 63² = (37 + 63)² = 100² = 10000.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog