⚡️ ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ

Для того щоб не розкривати кожен раз один і той самий вид дужок, що часто зустрічається в задачах, є скорочені форми їх запису. Тут розглянемо основні формули скороченого множення, необхідні для НМТ з математики.

➡️Формули скороченого множення — це поширені випадки множення многочленів.

1️⃣Формула різниці квадратів. Добуток різниці та суми двох виразів дорівнює різниці квадратів цих виразів:

(a – b)(a + b) = a² – b²

⏩Приклади:
🟠(x – 3)(x + 3) = x² – 3² = x² – 9;
🟠(5b + 2a)(2a – 5b) = (2a – 5b)(2a + 5b) = (2a)² – (5b)² = 4a² – 25b².

❓ Чому працює ця формула?
Переконаємось у правильності цієї формули, розкривши дужки звичайним чином:
(a – b)(a + b) = a² + ab – ab – b² = a² – b².
Отже, щоб кожен раз не скорочувати частинку ab і –ab, краще запам'ятати цю формулу.

2️⃣Формула квадрата суми. Квадрат суми двох виразів дорівнює сумі квадрата першого виразу, подвоєного добутку цих виразів і квадрата другого виразу:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

3️⃣Формула квадрата різниці. Квадрат різниці двох виразів дорівнює сумі квадратів першого і другого виразів та різниці подвоєного добутку цих виразів:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

⏩Приклади:
🟠(x + 3)² = x² + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3² = x² + 6x + 9;
🟠(2a – 5b)² = (2a)² – 2 ⋅ 2a ⋅ 5b + (5b)² = 4a² – 20ab + 25b².

❓ Звідки береться 2ab?
Доведемо формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Для цього скористаємось поняттям степеня:
(a + b)² = (a + b)(a + b).
Далі розкриємо ці дві дужки, використовуючи правило множення многочлена на многочлен:
(a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Доведено.

Розглянемо додаткові корисні формули.

4️⃣Формула суми кубів. Добуток суми двох виразів та неповного квадрату різниці цих виразів дорівнює сумі кубів цих виразів:

     (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³

5️⃣Формула різниці кубів. Добуток різниці двох виразів та неповного квадрату суми цих виразів дорівнює різниці кубів цих виразів:

     (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³

⏩Приклади:
🟠(x + 3)(x² – 6x + 9) = x³ + 3³ = x³ + 27;
🟠(2a – 5b)(4a² + 10ab + 25b²) = (2a)³ – (5b)³ = 8a³ – 125b³.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

❗️ Формули скороченого множення — це одні з перших формул, доступних у довідкових матеріалах НМТ з математики.

Файл із трьома сторінками довідкових матеріалів, які будуть доступні під час іспиту, надсилаю вам для ознайомлення.

📱 Зберігайте собі та користуйтеся.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ: МЕТОД ВИНЕСЕННЯ

Останнім часом ми з вами розкривали різні дужки. Тут ми будемо не розкривати їх, а, навпаки, робити їх. Розглянемо ключові методи, які дозволяють це зробити.

➡️Винесення спільного множника за дужки. Він полягає у представленні виразу у вигляді добутку, винісши спільний множник усіх доданків за дужки.

⏩Приклади:
🟠3x – 12 = 3 ⋅ x – 3 ⋅ 4 = 3(x – 4);
🟠a² + ab = a ⋅ a + a ⋅ b = a(a + b);
🟠4x³y – 6x²y² = 2x²y ⋅ 2x – 2x²y ⋅ 3y = 2x²y(2x – 3y);
🟠10a³ + 25a – 15a² = 5a ⋅ 2a² + 5a ⋅ 5 – 5a ⋅ 3a = 5a(2a² + 5 – 3a).

❓ Як перевірити правильність винесення?
Якщо ви сумніваєтеся, чи правильно зробили винесення, ви завжди можете це перевірити. Для цього потрібно просто розкрити дужки. Якщо ви повернулися до початкового прикладу, тоді ви зробили все правильно.
Приклад: якщо 4x³y – 6x²y² = 2x²y(2x – 3y), то 2x²y(2x – 3y) = 2x²y ⋅ 2x – 2x²y ⋅ 3y = 4x³y – 6x²y² — співпало.

➡️Приклади розв'язання завдань:

1️⃣Розкладіть на множники:
1) 2a(a + 3) – 5(a + 3);
2) (x – 2)² + (x – 2).
Розв'язання. 1) 2a(a + 3) – 5(a + 3) = (a + 3)(2a – 5).
2) (x – 2)² + (x – 2) = (x – 2)(x – 2) + 1(x – 2) = (x – 2)((x – 2) + 1) = (x – 2)(x – 1).

2️⃣Обчисліть: 27 ⋅ 36 + 73 ⋅ 36.
Розв'язання. 33 ⋅ 36 + 67 ⋅ 36 = 36(33 + 67) = 36 ⋅ 100 = 3600
Відповідь: 3600.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog