⚡️ ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ

Для того щоб не розкривати кожен раз один і той самий вид дужок, що часто зустрічається в задачах, є скорочені форми їх запису. Тут розглянемо основні формули скороченого множення, необхідні для НМТ з математики.

➡️Формули скороченого множення — це поширені випадки множення многочленів.

1️⃣Формула різниці квадратів. Добуток різниці та суми двох виразів дорівнює різниці квадратів цих виразів:

(a – b)(a + b) = a² – b²

⏩Приклади:
🟠(x – 3)(x + 3) = x² – 3² = x² – 9;
🟠(5b + 2a)(2a – 5b) = (2a – 5b)(2a + 5b) = (2a)² – (5b)² = 4a² – 25b².

❓ Чому працює ця формула?
Переконаємось у правильності цієї формули, розкривши дужки звичайним чином:
(a – b)(a + b) = a² + ab – ab – b² = a² – b².
Отже, щоб кожен раз не скорочувати частинку ab і –ab, краще запам'ятати цю формулу.

2️⃣Формула квадрата суми. Квадрат суми двох виразів дорівнює сумі квадрата першого виразу, подвоєного добутку цих виразів і квадрата другого виразу:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

3️⃣Формула квадрата різниці. Квадрат різниці двох виразів дорівнює сумі квадратів першого і другого виразів та різниці подвоєного добутку цих виразів:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

⏩Приклади:
🟠(x + 3)² = x² + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3² = x² + 6x + 9;
🟠(2a – 5b)² = (2a)² – 2 ⋅ 2a ⋅ 5b + (5b)² = 4a² – 20ab + 25b².

❓ Звідки береться 2ab?
Доведемо формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Для цього скористаємось поняттям степеня:
(a + b)² = (a + b)(a + b).
Далі розкриємо ці дві дужки, використовуючи правило множення многочлена на многочлен:
(a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Доведено.

Розглянемо додаткові корисні формули.

4️⃣Формула суми кубів. Добуток суми двох виразів та неповного квадрату різниці цих виразів дорівнює сумі кубів цих виразів:

     (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³

5️⃣Формула різниці кубів. Добуток різниці двох виразів та неповного квадрату суми цих виразів дорівнює різниці кубів цих виразів:

     (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³

⏩Приклади:
🟠(x + 3)(x² – 6x + 9) = x³ + 3³ = x³ + 27;
🟠(2a – 5b)(4a² + 10ab + 25b²) = (2a)³ – (5b)³ = 8a³ – 125b³.

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog